[答390] 領域内の格子点の個数

[答390] 領域内の格子点の個数


　xy平面上で、ｘ座標もｙ座標も整数である点を格子点といいます。 aを実定数として、

　領域 0≦y≦－x²＋a に格子点が 403個あるとき、領域 0＜y＜－x²＋a に格子点は何個？


[解答]

　領域 0≦y≦－x²＋a に格子点の個数を f(a) とします。

　明らかに、a＜0 のとき f(a)＝0 ，f(0)＝1 で、

　左上図と左下図の水色と紫の点のように、f(a)＝f([a]) になります。

　また、a＜a' のとき 0≦y≦－x²＋a ならば 0≦y≦－x²＋a' だから、f(a)≦f(a') です。

　つまり、関数 f(a) は広義単調増加になります。

　次に、左上図と左下図の水色の点は 領域 0＜y＜－x²＋a の格子点で、

　その個数は、右図と比べることにより、

　ａが自然数以外の正の数のとき f([a]－1) 個、 ａが自然数のとき f(a－2) 個です。

　f(a) の値については、

　－[√a]≦x≦[√a]，0≦y≦[a] にある格子点は全部で、(2[√a]＋1)([a]＋1) 個のうち、

　適さないものは、k＝1，2，……，[√a] として、x＝±k のとき、k² 個ずつで、

　[√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 個です。

　よって、f(a)＝(2[√a]＋1)([a]＋1)－[√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 になります。

　ここで、領域の面積は、(√a＋√a)³/6＝4a^3/2/3 だから、

　f(a)≒4a^3/2/3 として、4a^3/2/3≒403 、a≒(1209/4)^2/3≒45 、

　f(45)＝(2･6＋1){3･45＋3－6(6＋1)}/3＝416 、f(44)＝(2･6＋1){3･44＋3－6(6＋1)}/3＝403 だから、

　f(a)＝403 となるのは、44≦a＜45 です。

　領域 0＜y＜－x²＋a に格子点の個数は、

　44＜a＜45 のとき f(43)＝(2･6＋1)(43＋1)－6(6＋1)(2･6＋1)/3＝390 、

　a＝44 のとき f(42)＝(2･6＋1)(42＋1)－6(6＋1)(2･6＋1)/3＝377 です。

　もちろん、次のようにしても求められます。

　44＜a＜45 のとき (k，0) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 403－13＝390 個、

　a＝44 のとき 更に (k，－k²＋44) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 390－13＝377 個。

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