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[答390] 領域内の格子点の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答390] 領域内の格子点の個数


 xy平面上で、x座標もy座標も整数である点を格子点といいます。 aを実定数として、

 領域 0≦y≦-x2+a に格子点が 403個あるとき、領域 0<y<-x2+a に格子点は何個?


[解答]

 領域 0≦y≦-x2+a に格子点の個数を f(a) とします。

 明らかに、a<0 のとき f(a)=0 ,f(0)=1 で、

 左上図と左下図の水色と紫の点のように、f(a)=f([a]) になります。

 また、a<a' のとき 0≦y≦-x2+a ならば 0≦y≦-x2+a' だから、f(a)≦f(a') です。

 つまり、関数 f(a) は広義単調増加になります。

 次に、左上図と左下図の水色の点は 領域 0<y<-x2+a の格子点で、

 その個数は、右図と比べることにより、

 aが自然数以外の正の数のとき f([a]-1) 個、 aが自然数のとき f(a-2) 個です。

 f(a) の値については、

 -[√a]≦x≦[√a],0≦y≦[a] にある格子点は全部で、(2[√a]+1)([a]+1) 個のうち、

 適さないものは、k=1,2,……,[√a] として、x=±k のとき、k2 個ずつで、

 [√a]([√a]+1)(2[√a]+1)/3 個です。

 よって、f(a)=(2[√a]+1)([a]+1)-[√a]([√a]+1)(2[√a]+1)/3 になります。

 ここで、領域の面積は、(√a+√a)3/6=4a3/2/3 だから、

 f(a)≒4a3/2/3 として、4a3/2/3≒403 、a≒(1209/4)2/3≒45 、

 f(45)=(2・6+1){3・45+3-6(6+1)}/3=416 、f(44)=(2・6+1){3・44+3-6(6+1)}/3=403 だから、

 f(a)=403 となるのは、44≦a<45 です。

 領域 0<y<-x2+a に格子点の個数は、

 44<a<45 のとき f(43)=(2・6+1)(43+1)-6(6+1)(2・6+1)/3=390 、

 a=44 のとき f(42)=(2・6+1)(42+1)-6(6+1)(2・6+1)/3=377 です。

 もちろん、次のようにしても求められます。

 44<a<45 のとき (k,0) (k=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6) を除いて 403-13=390 個、

 a=44 のとき 更に (k,-k2+44) (k=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6) を除いて 390-13=377 個。

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Comments 18

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古い人  
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此のクリスマスローズ今女性の間で人気が有るそうですね。

色も豊富で派手でなく柔らかな感じの色が多いですね。
ポチ。

アキチャン  
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おはようございます。
謙虚に下向きに咲くお花・・・見習わなければf(^。^;
ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

紫のクリスマスローズ
珍しいですね~
とてもシックで素敵な色です

この花も花期が長いので是からまだ楽しめますね ポチ

ひとりしずか  
No title

クリスマスローズは色が変わると聞いていましたが、
これは色違いですか?
ポチ☆

ニリンソウ  
No title

いっぱいの中に紫が一輪目立ちます。
寒さにも強いクリスマスローズです今日の寒さは
如何でしょう。
2月もお終いです明日からは少し上がって欲しい気温です

ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,結局,要領よく調べることになりますが,
a が整数かどうかで変わってくるのに要注意ですね。
私の解法も,もっと簡単に書きましたが,同じでした。

ゆうこ つれづれ日記  
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クリスマスローズだ~~~
私のところでは越冬しないので庭で見ることがないです。
この色のお花、落ち着いていて素敵ですね。
ポチッ☆

黒翼  
No title

この問題は正確に格子点の分布を把握できれば後は計算ということですね.

僕の解答は少し表現が違いますが,本質的には同じでした.
ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
クリスマスローズは人気がありますね。
その説明に、盗難に注意するように書かれていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
俯き加減に咲く花で、謙虚にも見えますが、写真は撮りにくいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
紫のクリスマスローズ、間々見ることがありますが、
その色がうまく写ってくれないのが辛いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
クリスマスローズにはいろんな品種があり、色もさまざまです。
周りのものとはもともと色が違います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このクリスマスローズは室内で見たものですが、
屋外でも意外に逞しく咲いていましたよ。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
解答は同じようなものになると思います。
定数aが自然数以外の場合にも注意してほしいと思いつつ出題しました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
最初の a の求め方がよくわからなかったです...
試行錯誤で見つけましたが...
もっと大きな数のときは困ってたでしょうね ^^;
あとは...左右対称だから...aは偶数+原点=奇数 で...
曲線上に44<a<45 のときないかどうかいい加減でしたけど...
よく考えたらないことは自明でしたね ^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
この黒ユリのような色のクリスマスローズは特に落ち着いて見えます。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
放物線を移動させたり、直線を斜めにしたりすることもできますが、
本質的ではないのでシンプルにしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
aが整数のときは、端にある格子点つないで、ピックの定理でも求められますが、
格子点1つにつき面積が1と考えれば概算出来ます。