[答390] 領域内の格子点の個数
[答390] 領域内の格子点の個数
xy平面上で、x座標もy座標も整数である点を格子点といいます。 aを実定数として、
領域 0≦y≦-x2+a に格子点が 403個あるとき、領域 0<y<-x2+a に格子点は何個?
[解答]
領域 0≦y≦-x2+a に格子点の個数を f(a) とします。
明らかに、a<0 のとき f(a)=0 ,f(0)=1 で、
左上図と左下図の水色と紫の点のように、f(a)=f([a]) になります。
また、a<a' のとき 0≦y≦-x2+a ならば 0≦y≦-x2+a' だから、f(a)≦f(a') です。
つまり、関数 f(a) は広義単調増加になります。
次に、左上図と左下図の水色の点は 領域 0<y<-x2+a の格子点で、
その個数は、右図と比べることにより、
aが自然数以外の正の数のとき f([a]-1) 個、 aが自然数のとき f(a-2) 個です。
f(a) の値については、
-[√a]≦x≦[√a],0≦y≦[a] にある格子点は全部で、(2[√a]+1)([a]+1) 個のうち、
適さないものは、k=1,2,……,[√a] として、x=±k のとき、k2 個ずつで、
[√a]([√a]+1)(2[√a]+1)/3 個です。
よって、f(a)=(2[√a]+1)([a]+1)-[√a]([√a]+1)(2[√a]+1)/3 になります。
ここで、領域の面積は、(√a+√a)3/6=4a3/2/3 だから、
f(a)≒4a3/2/3 として、4a3/2/3≒403 、a≒(1209/4)2/3≒45 、
f(45)=(2・6+1){3・45+3-6(6+1)}/3=416 、f(44)=(2・6+1){3・44+3-6(6+1)}/3=403 だから、
f(a)=403 となるのは、44≦a<45 です。
領域 0<y<-x2+a に格子点の個数は、
44<a<45 のとき f(43)=(2・6+1)(43+1)-6(6+1)(2・6+1)/3=390 、
a=44 のとき f(42)=(2・6+1)(42+1)-6(6+1)(2・6+1)/3=377 です。
もちろん、次のようにしても求められます。
44<a<45 のとき (k,0) (k=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6) を除いて 403-13=390 個、
a=44 のとき 更に (k,-k2+44) (k=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6) を除いて 390-13=377 個。
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