[答391] 正方形内の三角形の面積
[答391] 正方形内の三角形の面積
正方形ABCDがあり、BP=11 となるように辺BA上に点Pをとり、
∠PCD の二等分線と辺ADの交点をQ とすれば、QD=23 になりました。
このとき、△PCQ の面積は?
[解答1]
正方形の1辺を a ,∠DCQ=∠QCP=θ とすれば、tanθ=23/a ,tan2θ=a/11 になります。
tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ) 、a/11=(46/a)/(1-529/a2) 、a/11=46a/(a2-529) 、
1/11=46/(a2-529) 、a2-529=506 、a2=1035 になります。
△PCQは、2つのベクトル (-a,11),(-23,a) で作られる三角形で、
△PCQ=|-a2+253|/2=|-1035+253|/2=391 になります。
[解答2] 黒翼さんのコメントより
右上図のように,△PCQを等積変形して黄色の部分の面積 xy/2 を求めます。
△PBC∽△EFC から PB:EF=BC:FC ,11:x=(x-y):23 となって,x2=xy+23・11 。
また,EC=QE=y だから,△EFCで三平方の定理より,
232+(x-y)2=y2 よって,x2=2xy-232 ,
xy+23・11=2xy-232 ,xy=23(23+11) ,△PCQ=xy/2=23・17=391 となります。
[解答3]
右下図のように、△BCP≡△DCR となる点R をとると、∠RCQ=∠RQC となるから、RC=RQ=11+23=34 、
よって、PC=RC=34 、△PCQ はPCを底辺とすれば高さは QDと等しく 23 だから、
△PCQ=34・23/2=391 になります。
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