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[答391] 正方形内の三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答391] 正方形内の三角形の面積


 正方形ABCDがあり、BP=11 となるように辺BA上に点Pをとり、

 ∠PCD の二等分線と辺ADの交点をQ とすれば、QD=23 になりました。

 このとき、△PCQ の面積は?


[解答1]

 正方形の1辺を a ,∠DCQ=∠QCP=θ とすれば、tanθ=23/a ,tan2θ=a/11 になります。

 tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ) 、a/11=(46/a)/(1-529/a2) 、a/11=46a/(a2-529) 、

 1/11=46/(a2-529) 、a2-529=506 、a2=1035 になります。

 △PCQは、2つのベクトル (-a,11),(-23,a) で作られる三角形で、

 △PCQ=|-a2+253|/2=|-1035+253|/2=391 になります。


[解答2] 黒翼さんのコメントより

 右上図のように,△PCQを等積変形して黄色の部分の面積 xy/2 を求めます。

 △PBC∽△EFC から PB:EF=BC:FC ,11:x=(x-y):23 となって,x2=xy+23・11 。

 また,EC=QE=y だから,△EFCで三平方の定理より,

 232+(x-y)2=y2 よって,x2=2xy-232

 xy+23・11=2xy-232 ,xy=23(23+11) ,△PCQ=xy/2=23・17=391 となります。


[解答3]

 右下図のように、△BCP≡△DCR となる点R をとると、∠RCQ=∠RQC となるから、RC=RQ=11+23=34 、

 よって、PC=RC=34 、△PCQ はPCを底辺とすれば高さは QDと等しく 23 だから、

 △PCQ=34・23/2=391 になります。

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Comments 19

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古い人  
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今日の花はクリロウの特徴の色の配色ですね。

クリローシリーズの中で今日の花が一番。
これぞクリローですね。
ポチ。

ひとりしずか  
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あらぁ~これはまた綺麗~(´∀`*)
下向いて咲くでしょう・・・
撮りずらいですよね~
でも良く撮れてますね~流石・・・ポチ☆

ニリンソウ  
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これスッキリ! いいなぁ~~~

ポチ

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
そっかぁ~!!
算数解法が気持ちよか♡

黒翼  
No title

おはようございます.

僕ははじめ解答1の方向で解答を考えたのですが,最終的な方向性が決まらず,解答2に転換しました.

解答3はお見事ですね.計算が圧倒的に簡単です.

ポチ☆

アキチャン  
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おはようございます。
これも いいですね(o^-^o)
いろいろなお花の表情・・・楽しめます♪ ポチ♪

さっちゃんこ  
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おはようございます
今日のクリスマスローズ
落ち着いた色合いが素敵ですね
白に入る紫の斑点が綺麗です ポチ

uch*n*an  
No title

これは,算数でスッキリと解ける問題でした。算チャレにも類題があったと思います。
というわけで,私の解法は算数解法で,[解答3]と考え方は同じでした。
ただし,△CQD を C を中心に反時計回りに回転し CD を CB に重ねました。
こういう問題は楽しくて好きです。

こっこちゃん  
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こんにちは
素晴しい 色の クリスマスローズ ですね”ぽち

色んなのが欲しいのですが 高価ですので買えません~~

こっこちゃん  
No title

クリスマス ローズで

トラバ させてくださいね。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このクリスマスローズもよく見ます。人気があるようですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
俯き加減で撮りづらいところもありますが、綺麗に咲いてくれていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
中間色が多いクリスマスローズの中で、この花は色の境目がはっきりして珍しいです。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
算数で解けるものは算数がいいですね。
しかも、他の解き方より簡単なら最高です。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿の解答を使わせて頂きました。
やはり[解答3]がいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花にも表情がありますね。この花の表情もいいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
斑点がくっきりしているのが特徴ですね。
中間色が多い中、ちょっと珍しいかなと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の解法のように、算数で解けることを見抜いてほしい問題でした。
途中、無理数を使った解答が多かったと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
クリスマスローズは確かに高価ですね。
展示のパネルにも盗難に注意するように書かれていました。
トラバは歓迎です。
一応、数学記事ですので、こちらからのトラバはしませんが……。