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[答392] 3通りの x,y に対する値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答392] 3通りの x,y に対する値


 (5x+2)3+(5y+2)3+15(5x+2)(5y+2)=125 ,x2+y2=k

 をともに満たす実数の組(x,y)が3通りあるとき、k=?


[解答1]

 (5x+2)3+(5y+2)3+15(5x+2)(5y+2)=125 より、

 (5x+2)3+(5y+2)3+(-5)3-3(-5)(5x+2)(5y+2)=0 、

 {(5x+2)+(5y+2)+(-5)}{(5x+2)2+(5y+2)2+(-5)2-(5x+2)(5y+2)-(-5)(5x+2)-(-5)(5y+2)}=0 、

 (5x+5y-1)〔{(5x+2)-(5y+2)}2+{(5x+2)-(-5)}2+{(5y+2)-(-5)}2〕=0 、

 (5x+5y-1){25(x-y)2+(5x+7)2+(5y+7)2}=0 、

 よって、x+y=1/5 または x=y=-7/5 になります。

 x+y=1/5 のとき、

 x2+y2=x2+(1/5-x)2=2x2-(2/5)x+1/25=2(x-1/10)2+1/50

 だから、k>1/50 に対して、2通りの実数の組(x,y)が存在します。

 ( k=1/50 のときは x=y=1/10 の1組が存在 ,k<1/50 のときは存在しません )

 x=y=-7/5 のとき、k=(-7/5)2+(-7/5)2=98/25 になります。

 従って、k=98/25 のときだけ3通りの実数の組(x,y)が存在します。

 なお、

 x+y=1/5 ,x2+y2=98/25 のとき、

 xy={(x+y)2-(x2+y2)}/2=(1/25-98/25)/2=-97/50 だから、

 x,y は、t2-(1/5)t-97/50=0 すなわち 50t2-10t-97=0 の解で、

 (1±√195)/10 のときです。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 x+y=u,xy=v とおくと,

 x,y が実数なので,u,v は実数,u2-4v=(x-y)2≧0 で,

 (5x+2)3+(5y+2)3+15(5x+2)(5y+2)=125

 125(x3+y3)+150(x2+y2)+60(x+y)+16+375xy+150(x+y)+60=125

 125(u3-3uv)+150k+60u+16+375v+150u+60=125

 125u3-375uv+210u+375v+150k-49=0

 x2+y2=u2-2v=k,x,y が実数なので,k≧0

 v を消去すると,u2-4v=-u2+2k≧0,2k≧u2 で,

 250u3-375u(u2-k)+420u+375(u2-k)+300k-98=0

 125u3-375u2-(375k+420)u+75k+98=0

 これを u の三次方程式と見ると,与えられた k に対して,実数解は 1 ~ 3 個です。

 実数解が 1 個の場合,v は 1 個なので,(x,y) は多くとも 2 個で,題意を満たしません。

 実数解が 2 又は 3 個の場合,v は 2 又は 3 個なので,

 (x,y) は x+y=u,xy=v が重解をもつときだけ 3 個になる可能性があります。

 x+y=u,xy=v が重解をもつときは u2-4v=0,2k=u2 なので,

 250u3-750u2-(375u2+840)u+75u2+196=0 125u3+675u2+840u-196=0

 (5u-1)(25u2+140u+196)=0 (5u-1)(5u+14)2=0 u=1/5, -14/5

 u=1/5 のとき,k=1/50 で,元の u の三次方程式は,

 250u3-750u2-855u+199=0 (5u-1)(50u2-140u-199)=0

 u=1/5, (14-3√66)/10, (14+3√66)/10

 u2=1/25, (395-42√66)/50>(395-42・9)/50=17/50>1/25=2k, (395+42√66)/10>2k なので,

 u=1/5 以外は (x,y) は実数にならず実数解 (x,y) は 1 組なので不可。

 u=-14/5 のとき,k=98/25 で,元の u の三次方程式は,

 125u3-375u2-(375k+420)u+75k+98=0

 125u3-375u2-1890u+392=0 (5u+14)(25u2-145u+28)=0 (5u+14)(5u-1)(5u-28)=0

 u=-14/5, 1/5, 28/5 u2=196/25, 1/25 < 196/25=2k, 784/25 > 196/25=2k なので,

 u=-14/5 は,v=49/25,(x,y) は重解 (-7/5,-7/5),で 1 組

 u=1/5 は,v=-97/50,(x,y) は 50t2-10t-97=0 の二つの実数解から,

 (x,y)=((1-√195)/10, (1+√195)/10), ((1+√195)/10, (1-√195)/10),で 2 組

 u=28/5 は,(x,y) は実数にならないので 0 組

 結局,実数解 (x,y) は 3 組になります。

 以上のことより,実数解 (x,y) が 3 組は,k=98/25=3.92,になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
No title

この問題は式変形のコツがつかめず,x=yとなる解が一つあると考えて,その解から答を導きました.

なるほど.解答1はこの問題ならではという感じですが,解答2の方をできるようになっておくと,応用が利きますね.(計算は大変ですが)

ポチ☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
やはり、これも大人色♪ 渋いピンクですネ(o^-^o)
ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます

今日のクリスマスローズも素敵な色ですね
渋さが何とも言えない感じです
ポチ♪

ニリンソウ  
No title

朝から雨降り~~春雨でも濡れたくないし(^-^)
クリスマスローズ この花もよく撮れています
種類、花色、多様で惹きつけられますね

ポチ

uch*n*an  
No title

いつも私は朝食を食べながらか朝の細々したことをする間にメールチェックをするのですが,
そのときにこのサイトの問題も見て問題を頭に入れ,移動中や仕事の合間に考えて,
昼休みかその前後の時間のあるときに解法をまとめています。
今回の問題は,最初問題を見間違え,最初の式を3次ではなく2次だと思って考えていました。
細かい計算と解法のまとめをしようとして問題を見直したら,3次であわてました。
しかし,すぐには他の解法を思い付かなかったのと,対称式なのは変わらないので,
考えた手法がそのまま使えると思いまとめたのが,(解法1)=[解答2]です。
その後,やどかりさんのリコメで因数分解に気付き,(解法2)=[解答1]をまとめました。
このように,[解答2]は[解答1]よりも応用が利きますが,計算が面倒なのと,
対称式であること,u の方程式がうまく解けること,などの条件は必要です。

uch*n*an  
No title

なお,ごめんなさい。
>u=-14/5 は,v=49/25,(x,y) は重解 (7/5,7/5),で 1 組
ここは,もちろん,重解 (-7/5,-7/5),のうっかりミスです。
また,
>まず,u の実数解が 2 又は 3 個となるのは,
>...
>判別式/4=375^2+375(375k+420)>0 これは,k≧0 なので常に成立します。
は必要条件に過ぎず,極大・極小をもっても,
極値の値によっては u の実数解が 1 個のこともありますし,
以下の議論では具体的に解を調べているので,あまり意味はありません。
そこで,この箇所と次の行の「次に,」は削除していいと思います。
実は,極値の正負も調べようと思ったのですが,面倒そうで止めてしまった,
という背景もあります (^^;

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このクリスマスローズ、軟らかい色合いながらも、色がはっきりしていました。
撮り易く咲いてくれていたのも嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
グラフは y=x に関して対称なので、3組の解があるのは、
この直線上に奇数個の解があることになります。
それで2つのkの値が出て来ますが、どちらが適するかを検証するのに、
やはり解かなければなりませんので、その解法は避けました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
原色よりこのような色を好まれる方のほうが、渋いですよね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
やはりこの色に渋さを感じられるようですね。
クリスマスローズの中間色はなかなかよいものです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらも朝から雨が降り続いています。
クリスマスローズの花は、いろの種類が豊富で楽しめますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の解答パターンがよく分かりました。
それにしても、2乗と3乗の違いは大きすぎます。

なお、マイナスは私も見落としました。
また、確かに、具体的に解けば、その上は不要でした。
頷きながら貴殿の解答を読んでしまったので、こんなことになりました。
早速、訂正させて頂きましたが、もっと注意して読まなければなりませんでしたね。

ひとりしずか  
No title

綺麗に開花してますね~
綺麗な花びらですね・・ポチ☆

黒翼  
No title

>それで2つのkの値が出て来ますが、どちらが適するかを検証するのに、やはり解かなければなりませんので、その解法は避けました。

確かにそうですね.
ただ,僕にはこの方程式を解き切る力がなかったため,答の候補を挙げることが重要でした.

問題番号に加えて,グラフのイメージも考えて解答を絞りました.

この問題には完敗ですね.

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
私には、落ち着いて柔らかな感じを受ける花弁です。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
答の見当をつけるには x=y とするのがいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...解法1に気づいたものの...その後...
解が3組あることに自信ないままでした...^^;...
いまいち未消化なわたしです...反芻咀嚼...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
納得できればそんなに難しい話ではありません。

uch*n*an  
No title

修正をありがとうございました。

なお,
>貴殿の解答パターンがよく分かりました。
もちろん,朝に問題が見られなかったり,
解法をまとめる時間がなかなか取れなかったりすることもあります。
ただ,今のところは,ほぼ,何とか出題日のうちに対応できているようです。
これからも頑張るつもりですが,諸般の事情で状況が変わったら,ごめんなさいね (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
何時も詳しい解答を頂きますが、どこで時間を捻出されているのか疑問でした。
特に木曜日は大変ですね。
私はブログをはじめてから、他のサイトの問題は解いても、
コメントが中々出来ません。