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[答396] 三角形内の四角形の面積

ヤドカリ

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[答396] 三角形内の四角形の面積


 △ABCの 辺AB上に点Dを、辺AC上に点Eをとり、BE,CDの交点をPとします。

 △PDB=9,△PBC=10,△PCE=11 のとき、四角形ADPEの面積は? (図は正確ではありません)


[解答1]

 △ADP=S,△APE=T とします。

 DP:PC=S:(T+11)=9:10 ,BP:PE=(S+9):T=10:11 より 10S=9T+99 ,11S=10T-99 、

 四角形ADPE=S+T を求めればよいので、 10(S+T)=19T+99,11(S+T)=21T-99 、

 210(S+T)=21・19T+21・99,209(S+T)=19・21T-19・99 、S+T=21・99+19・99=3960 です。


[解答2]

 四角形ADPE=x,△ADP=S とします。

 AE:EC=(x+9):21=(S+9):10 ,AD:DB=(x+11):19=S:9 より

 10(x+9)=21(S+9) ,9(x+11)=19S 、190(x+9)=19・21(S+9) ,189(x+11)=21・19S 、

 辺々減じて、 x+190・9-189・11=19・21・9 、x=3960 です。


[解答3]

 △PBC・△PED=△PDB・△PCE だから、10△PED=9・11 、△PED=99/10 です。

 四角形ADPE=x とすれば、AD:DB=△ADE:△DBE=△ADC:△DBC より、

 (x-99/10):(9+99/10)=(x+11):(9+10) 、(10x-99):(90+99)=(x+11):(9+10) 、

 19(10x-99)=189(x+11) 、x=3960 になります。


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

 四角形ADPE=x とおいてメネラウスの定理を使うと,

 (AB/BD)(DP/PC)(CE/EA)=(△ABC/△DBC)(△BDP/△BPC)(△BCE/△BEA)=1

 △ABC・△BDP・△BCE=△DBC・△BPC・△BEA

 (x+9+10+11)・9・(10+11)=(9+10)・10・(x+9)

 9・21(x+30)=19・10(x+9)

 四角形ADPE=x=9・21・30-19・10・9=(63-19)・90=44・90=3960


[解答5]

 AD/DB+AE/EC=△ACP/△BCP+△ABP/△CBP=(△ACP+△ABP)/△PBC=四角形ABPC/△PBC 、

 △ADC/△DBC+△ABE/△EBC=四角形ABPC/△PBC 、四角形ADPE=x とすれば、

 (x+11)/19+(x+9)/21=(x+20)/10 、210(x+11)+190(x+9)=399(x+20) 、x=3960 です。


☆ 意外に大きい答になりました。

☆ △PDB=a,△PBC=b,△PCE=c のとき、四角形ADPE=ac(a+2b+c)/(b2-ac) です。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解答1以外考えなかったけど...いろんな方法があるものですねぇ♪
想定外に巨大でびっくりしました ^^;
分母が0のときは...長方形になるわけですね ^^

ひとりしずか  
No title

黄梅ですよね~
満開ですね~心が浮き立ってきます・・ポチ☆

uch*n*an  
No title

確かに大きな値になりましたね。
私の解法は三つ。
(解法1)は,[解答3]とほぼ同じ。
(解法2)は,[解答4]。
(解法3)は,[解答1]とほぼ同じ。
まぁ,基本はこんなもんで,後は,それらのバリエーションだろう,と思って,
それ以上は考えませんでした。
個人的には,[解答2]と[解答5]はそんな感じがします。

uch*n*an  
No title

黒翼さんへ
>解答2のAE:EC=(x+9):21=(S+9):10という所と,
△ABE:△CBE = AE:EC = △ABP:△CBP (BP を底辺と見たときの高さの比)
>解答5のAD/DB+AE/EC=四角形ABPC/△PBCという所です.
□ABPC/△PBC = (△ABP + △ACP)/△PBC
= △ABP/△CBP + △ACP/△BCP = AE/CE + AD/BD = AD/DB + AE/EC
と書けば,多少は分かりやすいでしょうか?

ゆうこ つれづれ日記  
No title

濃い黄色のお花ですね。
暖かい地方は本当にいろんなお花が咲いて体の芯まで
癒してくれそうです。
ポチッ☆

ニリンソウ  
No title

黄梅、びっしりですね。
春の三原色のひとつかな! 輝いてますね
ポチ

Yasuko  
No title

オウバイ(黄梅)かしら?
この時期黄色は暖かく感じますねぇ~✿
今日は良いお天気で☀用事がはかどり助かりました。

○o。.✿ポチ✿.。o○

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
いよいよ其方でも黄梅が満開に成りましたね
日一日と春が近づいてきているようですね

元気を一杯貰った黄梅に ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り黄梅です。密集して咲いていたので、撮りました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ご質問の件は下に uch*n*anさんが記してくれました。
もう少し親切に書けばよかったですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
オウバイです。
密集して咲いていたのをアップで撮りましたので、分かりにくかったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
満開で、密集して沢山咲いていました。
元気印の黄色がこれだけかたまると見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
分母が0になる場合は、DB//EC ですね。
従って、点Aが存在しません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こころ浮き立つ黄色が満開で、見ごたえがありましたよ。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと黒翼さんへの説明を有難う御座います。
説明の一部を解答に入れさせて頂きました。
同じような解答も多いのですが、面積を使うものを並べてみました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
今のところ、開花している花の種類や数は北海道には負けないと思います。
貴女のブログの北海道の風景にはいつも圧倒されていますが……。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
春先の私の好きな黄色です。密集して咲いていると見事です。
もっと写真でうまく表現できたらよかったのですが。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとポチを有難う御座います。
この黄梅も大浜公園の入り口で見ました。
黄色の水仙と黄梅、いっぱい元気を貰えました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
日差しがだんだん強くなってきました。今日は暖かさも感じました。
このオウバイ、密集して沢山咲いていました。

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

ご回答ありがとうございます.
uch*n*anさんの説明を見て,少し考えたらわかりました.

お礼が遅れてしまい申し訳ありません.