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[答397] 正六角柱の積み上げ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答397] 正六角柱の積み上げ


 図のように、同形同大の正六角柱が沢山あり、1個,7個,19個,37個,…… と、正六角形状に並べ、

 左下図のように、(内部にある黄色の部分が見えないように)机の上に正六角錐状に積み上げます。

 積み上げたときに全部で 1728個の正六角柱が必要であれば、机に接する正六角柱は何個?


[解答]

 右下の図のように、上から k 段目の正六角柱の個数は、

 3・k(k-1)+1=3k2-3k+1=-(k-1)3+k3 です。

 これを n 段積み上げると、必要な正六角柱の個数は、

 -03+13-13+23-23+33-……-(n-1)3+n3=n3 となって、 n3=1728 、n=12 です。

 従って、机に接する段は 上から 12 段目で、正六角柱の個数は、-113+123=397 個です。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
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お見事ですね.

Σの公式でも比較的簡単に解けますが,こちらのほうが,一般性もきちんと示せるのでいいですね.

ポチ☆を入れさせていただきます.

古い人  
No title

紅梅が綺麗に咲いて来ましたね。

色が濃くて綺麗てすね。
遅れて咲いた分なんか濃く見えますね。
ポチ。

ニリンソウ  
No title

紅梅ありがとう!
まだこちらでは見れない・・もうすぐ追いつくからね
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
全体的にぽつぽつと、可愛い画像ですね(o^-^o)
ポチ♪

こっこちゃん  
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(@⌒ー⌒@)ノおはようございます

色濃い紅梅ですね”

こちらは梅はほとんどチリ行きました。 ポチ

さっちゃんこ  
No title

正に「紅梅」
くれない色が濃くて見事ですね
此方はスッカリ梅の花は散り行き
桃や桜に変わって来ましたよ ポチ

uch*n*an  
No title

これは,高校レベルの数列の応用として比較的容易な練習問題でした。
私の解法も基本的には[解答]と同じですが,
あっさりと暗算でできてしまったので,何も考えず単純にΣの計算をしました。
(ただ,Σ[k=1,n]{k(k-1)} = (n+1)n(n-1)/3 を使いました。)
[解答]の右下の図や式の変形の工夫はさすがです。
結果がキレイですね。

Yasuko  
No title

こんにちは♪
見事・・・美しいです~✿
我が家の家の前に鹿児島梅が咲いているのですが・・・
よく似た花色をしています。
梅の花に癒されっぱなしです(^O^)✿

○o。.✿ポチ.。o○

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
巧い式変形ですね!!...気づけなかった...^^;

三角数の和が...k^2 なら...
さしづめ...k^3になるときの数列は...六角柱数列とでも呼んじゃえそうね♪

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
Σの公式で解けるとしても、ひと工夫、できればしたいです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このごろ白梅が多くなり、却って紅い梅が目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
秋はそちらのほうが早いので、春はリードしておきたいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もうじき桜の季節ですが、梅の方が落ち着きがあるように思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
今年は梅が遅く、まだまだ咲いてくれています。
ブログを見せてもらって、よく感じますが、やはり宮崎は早いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらでは桃や桜はもう少し後です。
早咲きの河津桜だけは、少し咲いています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私はこの美しい結果を得て、紹介のために作問しました。
問題自体は易しいですが、私にとっては1つの収穫でした。
きっと先人にもこの結果に気づいた方がおられると思いますが。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとポチを有難う御座います。
鹿児島梅、私も錦織公園で見ましたが、真っ赤ですね。
この写真は大浜公園で見たものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
この式変形、気づいてほしいですね。

ひとりしずか  
No title

こんな色の濃い花びらの梅始めて見ました。
とても綺麗ですね~!ポチ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
オウバイやロウバイを除いて、梅の花の色は、白~紅 でしょうか。
特に濃い紅はよく目立ちます。