[答398] 内接円と外接円
[答398] 内接円と外接円
AB＝7，AC＝5 の △ABCがあり、AB，AC の延長上に P，Q をとると、
四角形BPQCには外接円と半径 √6 の内接円がありました。
このとき、BP，CQ，PQ の長さは？
[解答1]
B，C，P，Q から内接円の接点までの距離をそれぞれ b，c，p，q 、
BP，CQ と内接円との接点をそれぞれ M，N，内接円の中心を O とします。
△ABC∽△AQP で、相似比を 1：k とすれば、
p＋q＝(b＋c)k ……(1) ，7＋b＋p＝5k ……(2) ，5＋c＋q＝7k ……(3) になります。
次に、∠OMB＝∠QNO＝90ﾟ 、また、2∠OBM＋2∠OQN＝180ﾟ 、∠OBM＝90ﾟ－∠OQN＝∠QON だから、
△OMB∽△QNO となり、OM：QN＝MB：NO 、√6：q＝b：√6 、bq＝6 ……(4) です。
同様に、△ONC∽△PMO より、ON：PM＝NC：MO 、√6：p＝c：√6 、cp＝6 ……(5) です。
(1)より、bcp＋bcq＝bc(b＋c)k 、(5)(4)を代入して 6b＋6c＝bc(b＋c)k 、bck＝6 ……(6) です。
(2)より、bc(7＋b)＋bcp＝5bck 、(5)(6)を代入して bc(7＋b)＋6b＝30 、bc(7＋b)＝30－6b ……(7) です。
(3)より、bc(5＋c)＋bcq＝7bck 、(4)(6)を代入して bc(5＋c)＋6c＝42 、5bc＋bc2＋6c＝42 、
5b2c(7＋b)2＋b2c2(7＋b)2＋6bc(7＋b)2＝42b(7＋b)2 、
5b(7＋b)(30－6b)＋(30－6b)2＋6(7＋b)(30－6b)＝42b(7＋b)2 、
－72b3－648b2－1440b＋2160＝0 、b3＋9b2＋20b－30＝0 、
(b－1)(b2＋10b＋30)＝0 、これを満たす実数は b＝1 です。
よって、(7)より c＝3 、(5)より p＝2、(4)より q＝6 を得ます。
従って、BP＝b＋p＝3，CQ＝c＋q＝9，PQ＝p＋q＝8 になります。
[解答2] uch*n*anさんの解答より
半径 √6 の内接円の中心を O，円O と BC，BP，CQ との接点を L，M，N とすると，
△ABC＝△AOM＋△AON－△OBM－△OBL－△OCN－△OCL＝2△AOM－2(△OBL＋△OCL)
＝2(△AOM－△OBC)
ここで，BL＝x－1＝BM とおくと，
AM＝AB＋BM＝7＋(x－1)＝x＋6＝AN＝AC＋CN＝5＋CN，CN＝x＋1＝CL，BC＝2x，
△ABC＝2(△AOM－△OBC)＝2(AM･OM/2－BC･OL/2)＝(x＋6)√6－2x√6＝(6－x)√6
一方で，(AB＋BC＋AC)/2＝(7＋2x＋5)/2＝x＋6，とヘロンの公式より，
△ABC＝√{(x＋6)(x－1)(6－x)(x＋1)}
これより，1＜x＜6 で，√{(x＋6)(x－1)(6－x)(x＋1)}＝(6－x)√6，(x＋6)(x－1)(x＋1)＝6(6－x)
x3＋6x2＋5x－42＝0，(x－2)(x2＋8x＋21)＝0，x＝2
BC＝4，△ABC＝4√6，△ABC の内接円の半径＝△ABC/(x＋6)＝4√6/8＝√6/2，です。
そこで，四角形BPQC の外接円に注目すると，∠ABC＝∠AQP，∠ACB＝∠APQ，△ABC∽△AQP，
相似比＝(△ABC の内接円の半径)：(△AQP の内接円の半径)＝(√6/2)：(√6)＝1：2，
AB：AQ＝AC：AP＝BC：PQ＝1：2，7：AQ＝5：AP＝4：PQ＝1：2，AP＝10，AQ＝14，PQ＝8
これより，BP＝3，CQ＝9，PQ＝8，になります。
[解答3]
BC＝x とおけば、(7＋5＋x)/2＝x/2＋6 だから、△ABC の BC に接する傍接円の半径は、
√{(x/2＋6)(x/2＋6－7)(x/2＋6－5)/(x/2＋6－x)}＝√6 、
(x/2＋6)(x/2－1)(x/2＋1)/(－x/2＋6)＝6 、(x＋12)(x－2)(x＋2)＝24(－x＋12) 、
x3＋12x2＋20x－336＝0 、(x－4)(x2＋16x＋84)＝0 、x＝4 です。
(7＋5＋4)/2＝8 だから、△ABC の 内接円の半径は、√{(8－7)(8－5)(8－4)/8}＝(√6)/2 だから、
△AQP∽△ABC の相似比は √6：(√6)/2＝2：1 となって、
AQ＝2AB＝14 ，AP＝2AC＝10 ，PQ＝2CB＝8 だから、BP＝3 ，CQ＝9 ，PQ＝8 になります。
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