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[答398] 内接円と外接円

ヤドカリ

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[答398] 内接円と外接円


 AB=7,AC=5 の △ABCがあり、AB,AC の延長上に P,Q をとると、

 四角形BPQCには外接円と半径 √6 の内接円がありました。

 このとき、BP,CQ,PQ の長さは?


[解答1]

 B,C,P,Q から内接円の接点までの距離をそれぞれ b,c,p,q 、

 BP,CQ と内接円との接点をそれぞれ M,N,内接円の中心を O とします。

 △ABC∽△AQP で、相似比を 1:k とすれば、

 p+q=(b+c)k ……(1) ,7+b+p=5k ……(2) ,5+c+q=7k ……(3) になります。

 次に、∠OMB=∠QNO=90゚ 、また、2∠OBM+2∠OQN=180゚ 、∠OBM=90゚-∠OQN=∠QON だから、

 △OMB∽△QNO となり、OM:QN=MB:NO 、√6:q=b:√6 、bq=6 ……(4) です。

 同様に、△ONC∽△PMO より、ON:PM=NC:MO 、√6:p=c:√6 、cp=6 ……(5) です。

 (1)より、bcp+bcq=bc(b+c)k 、(5)(4)を代入して 6b+6c=bc(b+c)k 、bck=6 ……(6) です。

 (2)より、bc(7+b)+bcp=5bck 、(5)(6)を代入して bc(7+b)+6b=30 、bc(7+b)=30-6b ……(7) です。

 (3)より、bc(5+c)+bcq=7bck 、(4)(6)を代入して bc(5+c)+6c=42 、5bc+bc2+6c=42 、

 5b2c(7+b)2+b2c2(7+b)2+6bc(7+b)2=42b(7+b)2

 5b(7+b)(30-6b)+(30-6b)2+6(7+b)(30-6b)=42b(7+b)2

 -72b3-648b2-1440b+2160=0 、b3+9b2+20b-30=0 、

 (b-1)(b2+10b+30)=0 、これを満たす実数は b=1 です。

 よって、(7)より c=3 、(5)より p=2、(4)より q=6 を得ます。

 従って、BP=b+p=3,CQ=c+q=9,PQ=p+q=8 になります。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 半径 √6 の内接円の中心を O,円O と BC,BP,CQ との接点を L,M,N とすると,

 △ABC=△AOM+△AON-△OBM-△OBL-△OCN-△OCL=2△AOM-2(△OBL+△OCL)

  =2(△AOM-△OBC)

 ここで,BL=x-1=BM とおくと,

 AM=AB+BM=7+(x-1)=x+6=AN=AC+CN=5+CN,CN=x+1=CL,BC=2x,

 △ABC=2(△AOM-△OBC)=2(AM・OM/2-BC・OL/2)=(x+6)√6-2x√6=(6-x)√6

 一方で,(AB+BC+AC)/2=(7+2x+5)/2=x+6,とヘロンの公式より,

 △ABC=√{(x+6)(x-1)(6-x)(x+1)}

 これより,1<x<6 で,√{(x+6)(x-1)(6-x)(x+1)}=(6-x)√6,(x+6)(x-1)(x+1)=6(6-x)

 x3+6x2+5x-42=0,(x-2)(x2+8x+21)=0,x=2

 BC=4,△ABC=4√6,△ABC の内接円の半径=△ABC/(x+6)=4√6/8=√6/2,です。

 そこで,四角形BPQC の外接円に注目すると,∠ABC=∠AQP,∠ACB=∠APQ,△ABC∽△AQP,

 相似比=(△ABC の内接円の半径):(△AQP の内接円の半径)=(√6/2):(√6)=1:2,

 AB:AQ=AC:AP=BC:PQ=1:2,7:AQ=5:AP=4:PQ=1:2,AP=10,AQ=14,PQ=8

 これより,BP=3,CQ=9,PQ=8,になります。


[解答3]

 BC=x とおけば、(7+5+x)/2=x/2+6 だから、△ABC の BC に接する傍接円の半径は、

 √{(x/2+6)(x/2+6-7)(x/2+6-5)/(x/2+6-x)}=√6 、

 (x/2+6)(x/2-1)(x/2+1)/(-x/2+6)=6 、(x+12)(x-2)(x+2)=24(-x+12) 、

 x3+12x2+20x-336=0 、(x-4)(x2+16x+84)=0 、x=4 です。

 (7+5+4)/2=8 だから、△ABC の 内接円の半径は、√{(8-7)(8-5)(8-4)/8}=(√6)/2 だから、

 △AQP∽△ABC の相似比は √6:(√6)/2=2:1 となって、

 AQ=2AB=14 ,AP=2AC=10 ,PQ=2CB=8 だから、BP=3 ,CQ=9 ,PQ=8 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
No title

お早うございます.

この問題は普通に解くとかなり面倒ですね.実際僕も最終的にはめちゃくちゃになってうまくまとめられませんでした.

解答3の見方は面白いですね.

ポチ☆を入れさせていただきます.

古い人  
No title

満開の白梅何度見ても好いですね。

今年ほど待ちに待った年も珍しいね。
でも綺麗に咲いてくれましたね。
ポチ。

ニリンソウ  
No title

おはようございます。
白梅満開ですね、暑さ寒さも彼岸までと期待していたのに雪がチラチラ・・・今年の冬は強気です

ポチ

さっちゃんこ  
No title

白梅が満開に成り季節も漸く春が遣って来ましたね

此方は今朝は7度位で最高気温は16度まで上がる予定だそうです
少し肌寒い感じの朝に成っています

天気も午前中は晴れの予定で
春の優しい日差しが期待できそうです ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗ですね~♪ ポチ♪
昨日、雨があがった後、こちらでも一気に咲いていました(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

こんな花と太陽の下でお弁当たべたいぁ~(^^♪
ポチ☆

Yasuko  
No title

おはようございます♪
美しい見事な白梅満開ですねぇ~✿
朝夕は少し冷えますが、暑さ寒さも彼岸まで~~。
春は足元まで来ましたね☆

○o。.✿ポチ✿.。o○

uch*n*an  
No title

これはなかなかいい問題でした。
私は三つほどの解法を思い付いたのですが,時間が無かったのでまとめたのは一つだけで,
それが[解答2]です。この解法は,実は,
>1<x<6 で,√{(x+6)(x-1)(6-x)(x+1)}=(6-x)√6,(x+6)(x-1)(x+1)=6(6-x)
において,最後の式は目の子でも x = 2 は分かるし,
グラフを考えれば他に解がないのは明らかなので,暗算でも答えが分かる解法です。
また,これらの式と[解答3]の式とは実質同じです。
なお,他の二つですが...
一つ目は最初から △ABC ∽ △AQP を使う解法で,その意味では[解答1]の方向ですが,
相似比に (△ABC の内接円の半径):(△AQP の内接円の半径) を使ったので,
実際の計算は,むしろ,[解答3]になります。
二つ目は三角関数で余弦定理と倍角の公式を使うものです。
こちらは少し計算が面倒になりそうです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしゃ...たまたま知ってた...
内外接円の四角形の性質...面積S=√(4辺の積)...ってのを使ってしまいました...これなくしては解けなかったかもしれません...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
見かけによらない面倒な問題でした。
問題番号に合わせたために数値は簡単にしましたが。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
すぐに桜の季節が来そうです。今年の梅は遅かったなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
所によっては寒波が戻って雪が降る日もあるようですね。
でも、春は確実に近付いています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
今朝は寒かったけど、昼間の日差しは暖かでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
遅かった梅も今は満開、これから次々と季節の花が見られるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は持参しませんでしたが、弁当を食べている方もいました。
屋外で食事しようという気持ちになる季節はいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
明日は彼岸の中日、暑さ寒さもの言葉通り、これからいい季節を迎えますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]も示しましたが、この問題は傍接円という認識ができるかどうかの問題でしたが、
傍接円とはっきり書かれていた解答はありませんでした。
答の数値を簡単にしたために、暗算でもできるような問題になりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
その性質も綺麗ですね。解き方に関してはいろいろありますね。

uch*n*an  
No title

なるほど,スモークマンさんの解法も面白いですね。

なお,もちろん,傍接円であることには気付いていましたが,
わざわざそれを言う必要はない問題だったと思います。
皆さんが言わなかったのもそのためでしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
傍接円を意識すれば半径のに公式が使えるので解答を書きやすいと思います。
[解答1]は、気づかないときにどうするかを愚直に書いた心算です。
ま、好みによりますが。