[答398] 内接円と外接円
[答398] 内接円と外接円
AB=7,AC=5 の △ABCがあり、AB,AC の延長上に P,Q をとると、
四角形BPQCには外接円と半径 √6 の内接円がありました。
このとき、BP,CQ,PQ の長さは?
[解答1]
B,C,P,Q から内接円の接点までの距離をそれぞれ b,c,p,q 、
BP,CQ と内接円との接点をそれぞれ M,N,内接円の中心を O とします。
△ABC∽△AQP で、相似比を 1:k とすれば、
p+q=(b+c)k ……(1) ,7+b+p=5k ……(2) ,5+c+q=7k ……(3) になります。
次に、∠OMB=∠QNO=90゚ 、また、2∠OBM+2∠OQN=180゚ 、∠OBM=90゚-∠OQN=∠QON だから、
△OMB∽△QNO となり、OM:QN=MB:NO 、√6:q=b:√6 、bq=6 ……(4) です。
同様に、△ONC∽△PMO より、ON:PM=NC:MO 、√6:p=c:√6 、cp=6 ……(5) です。
(1)より、bcp+bcq=bc(b+c)k 、(5)(4)を代入して 6b+6c=bc(b+c)k 、bck=6 ……(6) です。
(2)より、bc(7+b)+bcp=5bck 、(5)(6)を代入して bc(7+b)+6b=30 、bc(7+b)=30-6b ……(7) です。
(3)より、bc(5+c)+bcq=7bck 、(4)(6)を代入して bc(5+c)+6c=42 、5bc+bc2+6c=42 、
5b2c(7+b)2+b2c2(7+b)2+6bc(7+b)2=42b(7+b)2 、
5b(7+b)(30-6b)+(30-6b)2+6(7+b)(30-6b)=42b(7+b)2 、
-72b3-648b2-1440b+2160=0 、b3+9b2+20b-30=0 、
(b-1)(b2+10b+30)=0 、これを満たす実数は b=1 です。
よって、(7)より c=3 、(5)より p=2、(4)より q=6 を得ます。
従って、BP=b+p=3,CQ=c+q=9,PQ=p+q=8 になります。
[解答2] uch*n*anさんの解答より
半径 √6 の内接円の中心を O,円O と BC,BP,CQ との接点を L,M,N とすると,
△ABC=△AOM+△AON-△OBM-△OBL-△OCN-△OCL=2△AOM-2(△OBL+△OCL)
=2(△AOM-△OBC)
ここで,BL=x-1=BM とおくと,
AM=AB+BM=7+(x-1)=x+6=AN=AC+CN=5+CN,CN=x+1=CL,BC=2x,
△ABC=2(△AOM-△OBC)=2(AM・OM/2-BC・OL/2)=(x+6)√6-2x√6=(6-x)√6
一方で,(AB+BC+AC)/2=(7+2x+5)/2=x+6,とヘロンの公式より,
△ABC=√{(x+6)(x-1)(6-x)(x+1)}
これより,1<x<6 で,√{(x+6)(x-1)(6-x)(x+1)}=(6-x)√6,(x+6)(x-1)(x+1)=6(6-x)
x3+6x2+5x-42=0,(x-2)(x2+8x+21)=0,x=2
BC=4,△ABC=4√6,△ABC の内接円の半径=△ABC/(x+6)=4√6/8=√6/2,です。
そこで,四角形BPQC の外接円に注目すると,∠ABC=∠AQP,∠ACB=∠APQ,△ABC∽△AQP,
相似比=(△ABC の内接円の半径):(△AQP の内接円の半径)=(√6/2):(√6)=1:2,
AB:AQ=AC:AP=BC:PQ=1:2,7:AQ=5:AP=4:PQ=1:2,AP=10,AQ=14,PQ=8
これより,BP=3,CQ=9,PQ=8,になります。
[解答3]
BC=x とおけば、(7+5+x)/2=x/2+6 だから、△ABC の BC に接する傍接円の半径は、
√{(x/2+6)(x/2+6-7)(x/2+6-5)/(x/2+6-x)}=√6 、
(x/2+6)(x/2-1)(x/2+1)/(-x/2+6)=6 、(x+12)(x-2)(x+2)=24(-x+12) 、
x3+12x2+20x-336=0 、(x-4)(x2+16x+84)=0 、x=4 です。
(7+5+4)/2=8 だから、△ABC の 内接円の半径は、√{(8-7)(8-5)(8-4)/8}=(√6)/2 だから、
△AQP∽△ABC の相似比は √6:(√6)/2=2:1 となって、
AQ=2AB=14 ,AP=2AC=10 ,PQ=2CB=8 だから、BP=3 ,CQ=9 ,PQ=8 になります。
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