[答399] 異なる整数の個数
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[答399] 異なる整数の個数
ガウス記号を使って表される次の無限数列の中に、整数は何種類?
[39900/1],[39900/2],[39900/3],[39900/4],……,[39900/k],……
[解答]
39900/(k-1)-39900/k≧1 のとき、[39900/(k-1)]>[39900/k] になります。
これを解けば、39900k-39900(k-1)≧(k-1)k 、(k-1)k≦39900 で、
199・200=39800 ,200・201=40200 だから、k≦200 になります。
よって、[39900/1]>[39900/2]>[39900/3]>……>[39900/199]>[39900/200] です。
[39900/200]=199 、また、k>200 のとき 39900/(k-1)-39900/k<1 だから、
199 未満の自然数や 0 は必ずこの数列に現れます。
よって、200+199=399 種類の整数が現れます。
[参考]
一般化して、[n/1],[n/2],[n/3],[n/4],……,[n/k],…… の整数は何種類かを求めます。
(k-1)k≦n を満たす最大の自然数 k について、
[n/1]>[n/2]>[n/3]>……>[n/(k-1)]>[n/k] が成り立ち、
[n/k] 未満の自然数すべてと 0 が、この数列に現れますので、k+[n/k] 種類の数が現れます。
ここで、(k-1)k≦n<k(k+1) だから、k-1≦n/k<k+1 、[n/k]=k-1,k で、
(k-1)k≦n<k2 のとき [n/k]=k-1 ,k2≦n<k(k+1) のとき [n/k]=k です。
(k-1)k≦n<k2 のとき、
(k-1)k≦n≦k2-1 、(2k-1)2≦4n+1≦4k2-3 、
2k-1≦√(4n+1)<2k 、 [√(4n+1)]=2k-1 になります。
このとき、k+[n/k]=k+k-1=[√(4n+1)] です。
k2≦n<k(k+1) のとき、
4k2+1≦4n+1<(2k+1)2 、2k<√(4n+1)<2k+1 、 [√(4n+1)]=2k になります。
このとき、k+[n/k]=k+k=[√(4n+1)] です。
従って、いずれの場合も、[√(4n+1)] 種類です。
☆ 本問では、[√(4・39900+1)]=[√159601]=[399.5009……]=399 です。
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