[答399] 異なる整数の個数

'


[答399] 異なる整数の個数


　ガウス記号を使って表される次の無限数列の中に、整数は何種類？

　[39900/1]，[39900/2]，[39900/3]，[39900/4]，……，[39900/k]，……


[解答]

　39900/(k－1)－39900/k≧1 のとき、[39900/(k－1)]＞[39900/k] になります。

　これを解けば、39900k－39900(k－1)≧(k－1)k 、(k－1)k≦39900 で、

　199･200＝39800 ，200･201＝40200 だから、k≦200 になります。

　よって、[39900/1]＞[39900/2]＞[39900/3]＞……＞[39900/199]＞[39900/200] です。

　[39900/200]＝199 、また、k＞200 のとき 39900/(k－1)－39900/k＜1 だから、

　199 未満の自然数や 0 は必ずこの数列に現れます。

　よって、200＋199＝399 種類の整数が現れます。


[参考]

　一般化して、[n/1]，[n/2]，[n/3]，[n/4]，……，[n/k]，…… の整数は何種類かを求めます。

　(k－1)k≦n を満たす最大の自然数 k について、

　[n/1]＞[n/2]＞[n/3]＞……＞[n/(k－1)]＞[n/k] が成り立ち、

　[n/k] 未満の自然数すべてと 0 が、この数列に現れますので、k＋[n/k] 種類の数が現れます。

　ここで、(k－1)k≦n＜k(k＋1) だから、k－1≦n/k＜k＋1 、[n/k]＝k－1，k で、

　(k－1)k≦n＜k² のとき [n/k]＝k－1 ，k²≦n＜k(k＋1) のとき [n/k]＝k です。

　(k－1)k≦n＜k² のとき、

　 (k－1)k≦n≦k²－1 、(2k－1)²≦4n＋1≦4k²－3 、

　 2k－1≦√(4n＋1)＜2k 、 [√(4n＋1)]＝2k－1 になります。

　 このとき、k＋[n/k]＝k＋k－1＝[√(4n＋1)] です。

　k²≦n＜k(k＋1) のとき、

　 4k²＋1≦4n＋1＜(2k＋1)² 、2k＜√(4n＋1)＜2k＋1 、 [√(4n＋1)]＝2k になります。

　 このとき、k＋[n/k]＝k＋k＝[√(4n＋1)] です。

　従って、いずれの場合も、[√(4n＋1)] 種類です。


☆ 本問では、[√(4･39900＋1)]＝[√159601]＝[399．5009……]＝399 です。

.