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[答399] 異なる整数の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答399] 異なる整数の個数


 ガウス記号を使って表される次の無限数列の中に、整数は何種類?

 [39900/1],[39900/2],[39900/3],[39900/4],……,[39900/k],……


[解答]

 39900/(k-1)-39900/k≧1 のとき、[39900/(k-1)]>[39900/k] になります。

 これを解けば、39900k-39900(k-1)≧(k-1)k 、(k-1)k≦39900 で、

 199・200=39800 ,200・201=40200 だから、k≦200 になります。

 よって、[39900/1]>[39900/2]>[39900/3]>……>[39900/199]>[39900/200] です。

 [39900/200]=199 、また、k>200 のとき 39900/(k-1)-39900/k<1 だから、

 199 未満の自然数や 0 は必ずこの数列に現れます。

 よって、200+199=399 種類の整数が現れます。


[参考]

 一般化して、[n/1],[n/2],[n/3],[n/4],……,[n/k],…… の整数は何種類かを求めます。

 (k-1)k≦n を満たす最大の自然数 k について、

 [n/1]>[n/2]>[n/3]>……>[n/(k-1)]>[n/k] が成り立ち、

 [n/k] 未満の自然数すべてと 0 が、この数列に現れますので、k+[n/k] 種類の数が現れます。

 ここで、(k-1)k≦n<k(k+1) だから、k-1≦n/k<k+1 、[n/k]=k-1,k で、

 (k-1)k≦n<k2 のとき [n/k]=k-1 ,k2≦n<k(k+1) のとき [n/k]=k です。

 (k-1)k≦n<k2 のとき、

  (k-1)k≦n≦k2-1 、(2k-1)2≦4n+1≦4k2-3 、

  2k-1≦√(4n+1)<2k 、 [√(4n+1)]=2k-1 になります。

  このとき、k+[n/k]=k+k-1=[√(4n+1)] です。

 k2≦n<k(k+1) のとき、

  4k2+1≦4n+1<(2k+1)2 、2k<√(4n+1)<2k+1 、 [√(4n+1)]=2k になります。

  このとき、k+[n/k]=k+k=[√(4n+1)] です。

 従って、いずれの場合も、[√(4n+1)] 種類です。


☆ 本問では、[√(4・39900+1)]=[√159601]=[399.5009……]=399 です。

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Comments 18

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古い人  
No title

今日はトサミズキですね。

よく開いていますね此の花が咲くと春を感じますね。
此れからは順調に気温も高くなると良いね。
ポチ。

黒翼  
No title

お見事ですね.

一般化は多少厄介ですが,問題を解くだけなら比較的簡単な方程式を解くだけですね.
一般化も参考になりました.

ポチ☆を入れさせてただきます.

ニリンソウ  
No title

トサミズキですかレモン色の花房が爽やかですね
しつっこい冬が退散しますように(^-^)

ぽち

Yasuko  
No title

おはようございます(^o^)
トサミズキ✿なんとも言えない上品な色あい♪
春ですねぇ~✿ほっこり(^o^)ニコニコ

○o。.✿ポチ✿.。o○

ひとりしずか  
No title

社交界の女性のドレスのような感じがします~
色が良いですね~ポチ☆

uch*n*an  
No title

この問題もなかなか面白い問題でした。
y = 39900/x のグラフをイメージしながら幾つか実際に試してみると,
「ハハーン」という感じで解けると思います。気付かないと苦労するかも,ですが。
一般化までは考えませんでしたが,結構スッキリした結果になるのですね。
勉強になりました。

アキチャン  
No title

こんにちは!
コメントは、お花に対するものと、問題にたいするものと混在ですね(o^-^o)
ちょっと、珍しいブログの形態かもしれません。。
と言いながら、私は、お花へのコメントしかできませんf(^。^;
綺麗ですね~(o^-^o) ポチ♪

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
桜が咲くと本当に春の訪れを感じます。
順調に暖かくなるといいですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
一般化して面白い問題と思います。
参考になったのでしたら幸いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
サクラのピンクと同様、トサミズキの黄色も春を感じさせますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
沢山咲いていて、もう少し派手な光景だったのですが、
少しだけ撮ると偶然ちょっと上品に写ったのでしょう。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
ちょいと悩みましたが...
y=-(x-1)+39900, y=39900/x
-x+39901-39900/x=39901-x-39900/x>=0
39901>=x+39900/x>=2√39900=399.5
等号はx=√39900=199.7
x+39900/x の値はすべて異なり...1<=x<=39900 を満たしてる...
y=[39901-x-39900/x]は...0~(39901-399)まで取りうる...ので...
y=[39900/x]は...残り...1~399までの399種類取れる...
ってなことに思い至りました...
アップされた解法に比べたら...面倒でしたか...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
女性のドレスですか?
こんな色のドレスであれば、春を感じさせますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題は易しかったと思います。
一般化すると案外簡単な形で表されるのは1つの発見でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
言われてみれば、珍しいブログの形態でしょうね。
みなさんがそんなブログにしてくれたのだと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
う~ん、貴殿の書かれた解法は私には考えられないです。
「x+39900/x の値はすべて異なり」と書かれていますが、
x=100 のときと x=399 のときの値は同じです。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
たしかに...^^;
書き方がまずかったですね...
-x+39901-39900/x=39901-x-39900/x>=0
は...y=39901-x と y=39900/x とで囲まれた部分の yの長さ...
だから...y=39901-x は整数...なので...
y=39901-x-(39901-x-39900/x) はすべて異なる...と言えばよかったかな?...どちらにしてもややこしい/冗長でした...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座いました。