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[答400] 三角形の面積の最小値

ヤドカリ

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[答400] 三角形の面積の最小値


 ∠AOB=105゚ である半直線OA,OB と、点C があって、OC=20,∠AOC=75゚,∠COB=30゚ です。

 点Cを通り半直線OA,OB と交わる直線を描き、OA,OB との交点をそれぞれ P,Q とするとき、

 △POQ の面積の最小値は?


[解答1]

 OQ=x,OP=y,sin75゚=s とすれば、△OPQ=(1/2)・xy・sin105゚=sxy/2 、

 △OCP+△OQC=(1/2)・20y・sin75゚+(1/2)・20x・sin30゚=10sy+5x だから、

 △OPQ=△OCP+△OQC より、sxy/2=10sy+5x 、s(x-20)y/2=5x 、(x>20 に注意)

 △OPQ=sxy/2=5x2/(x-20)=5{x+20+400/(x-20)} になります。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、x-20+400/(x-20)≧2√{(x-20)・400/(x-20)}=40 だから、

 △OPQ=5{x-20+400/(x-20)+40}≧5(40+40)=400 です。

 等号は、x-20=400/(x-20) 、OQ=x=40 のときに成り立ちます。


[解答2]

 OB上に OD=20 となるように点Dをとり、△OCDは二等辺三角形で、∠OCD=75゚ 、CD//PO です。

 DQ=x とすれば、△COQ=5(20+x) になり、△OPQ:△OCQ=PQ:CQ=OQ:DQ=(20+x):x だから、

 △OPQ:5(20+x)=(20+x):x だから、

 △OPQ=5(20+x)2/x=5(400/x+40+x) になり、相加・相乗平均の関係により、

 △OPQ=5(400/x+40+x)≧5{40+2√(x・400/x)}=400 になります。

 等号は、x=400/x 、DQ=x=20 のときに成り立ちます。


[解答3]

 xy平面上で、O(0,0),C(0,20) とし、OA:y=ax ,OB:y=bx とすれば、a=-2+√3,b=√3 です。

 また、PQ:y=mx+20 (a<m<b) とします。

 PQとOAの交点のx座標は、mx+20=ax より、x=-20/(m-a) だから、

 △OCP=20・20/(m-a)/2=200/(m-a) になり、同様に、△OQC=200/(b-m) です。

 b-a=2 に注意して、

 △POQ=200/(m-a)+200/(b-m)=200(b-a)/{(m-a)(b-m)}=400/{(m-a)(b-m)} です。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、

 √{(m-a)(b-m)}≦{(m-a)+(b-m)}/2=(b-a)/2=1 だから、(m-a)(b-m)≦1 となって、

 △POQ≧400 、最小値は 400 です。
 
 等号は、m-a=b-m 、すなわち、m=(a+b)/2=√3-1 のときに成り立ちます。


[解答4] 何人かのコメントを総合して

 C が PQ の中点になるように P,Q をとります。

 半直線OA上に、OR<OP<OT を満たすように点R,T をとり、

 直線RC,TC と 半直線OB の交点をそれぞれ S,Q とすれば、OU<OQ<OS になります。

 次に、

 ∠ORS<90゚ より ∠CRP>90゚ だから、△CRP で CR<CP が、

 ∠OQP<90゚ より ∠CQS>90゚ だから、△CQS で CQ<CS がいえ、

 CP=CQ だから、△CRP<△CQS 、△CRP+四角形CROQ<△CQS+四角形CROQ 、

 △OQP<△OSR です。

 同様に、△OQP<△OUT もいえて、

 C が PQ の中点の場合に △OQP の面積が最小になります。

 次に、OA は △COQ の ∠COQ の外角の二等分線だから、

 CO:OQ=CP:PQ=1:2 で、CO=20 だから OQ=40 となって、

 OQ を底辺として、△COQ=40・10/2=200 、PQ を底辺として、△OQP=2△COQ=400 になります。


[参考]

 [解答4]で、CR<CS であることは、次のように示すこともできます。

 △OPQ と 直線SR で メネラウスの定理により、(OR/RP)(PC/CQ)(QS/SO)=1 、

 OR/RP=SO/QS=(OQ+QS)/QS=OQ/QS+1 になり、

 △ORS と 直線PQ で メネラウスの定理により、(SC/CR)(RP/PO)(OQ/QS)=1 、

 SC/CR=(PO/RP)(QS/OQ)={(PR+RO)/RP}(QS/OQ)=(1+OR/RP)(QS/OQ) 、

 OR/RP=OQ/QS+1 を代入して、

 SC/CR=(1+OR/RP)(QS/OQ)=(1+OQ/QS+1)(QS/OQ)=1+2QS/OQ>1 です。

 よって、∠AOB が鈍角でなくても CR<CS は成り立ちます。

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Comments 20

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
「イチゲ」の花なのですか?
余り見かけた事がありません

とても綺麗な花ですね ポチ

uch*n*an  
No title

これも,なかなか面白い,いい問題でした。少しアレンジすれば,大学入試によさそう。
私の解法は三つ。(解法1)は[解答2]と同じ。(解法2)は[解答4]と同じ。
(解法3)は,やはり算数解法で,個人的には気に入っているので,
図がないと分かりづらいかも知れませんが,ご参考までに書いておきますね。
なお,どの解法でも示せると思いますが,特に(解法3)から,明らかに,
OC = a,∠AOC = α,∠COB = β のとき,
△POQ の最小値は,a^2 * (2sinαsinβ)/sin(α+β),になりますね。

uch*n*an  
No title

(解法3)
C から OB に下ろした垂線の足を H とし,
C を通り OA と平行な直線を引き OB との交点を R とします。CH = 20 * 1/2 = 10 です。
∠ORC = 180°- ∠AOB = 180°- 105°= 75°= ∠AOC = ∠OCR なので,OR = OC = 20 で,
点 C を通る直線が半直線 OA,OB と交わるためには,OQ > 20 です。
さらに,C を通り OB と平行な直線を引き OA との交点を S とします。
ここで,RO 又はその延長上に RQ = RQ' となる点 Q' を取り,
CQ' 又はその延長と SO 又はその延長との交点を P',
P' を通って OB に平行な線を引き PQ 又はその延長との交点を D,
P'D と CR 又はその延長との交点を E,とします。

uch*n*an  
No title

Q' が OR 上,両端は含まない,にある場合,Q' = O の場合,Q' が RO の延長上にある場合,
によって,少し図が変わりますが,いずれの場合も,
RQ = RQ' から ED = EP' = OR = SC がいえ,P'D = SC * 2,SP = SP' になります。
そこで,
△POQ = □SORC + △CPS + △CQR = □SORC + △CP'S + △CQ'R
ここで,点の位置関係より,△CP'S + △CQ'R >= □SORC,等号は Q' = O,となるので,
△POQ >= □SORC * 2 = OR * CH * 2 = 20 * 10 * 2 = 400
そこで,△POQ の最小値は 400 になります。

tsuyoshik1942  
No title

解答送信後に中点方式に気づき、この解法が最も簡明だったと反省しておりました。理由付けは「スモークマン」さんと同じです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はユキワリイチゲです。
山野草は可憐で好きです。特に春を待って咲く花はいいですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
[解答3]は少し面倒だと思いますが、計算力だけで何とかなるので紹介しました。
相加・相乗平均の関係は微分をつかうより楽ですので、
このブログではよく使います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このユキワリイチゲは花の文化園で撮りました。
山野草が咲いている一角が好きで、いつも見に行きます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。

> 図示のごとく..片方は短くなり、反対側は長くなるのは一目瞭然と考えました
私は、きちんと裏づけをとる必要があると考え、[解答4]に記しました。

> そうならない図ってのは存在するとは思えないのですけど
証明していますので、そうならない図は存在しません。
∠AOB≧90゚ だからです。
ただ、条件が変わって、∠AOC=∠COB=5゚ のような小さい角であれば、
「片方は短くなり、反対側は長くなる」とは言い切れません。
CR>CP,CS>CQ になるようにとることもできます。
それで、∠AOB>90゚ を利用して CR<CP,CS>CQ を示しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このような山野草には魅力を感じます。
ただ、多くの種類の写真を撮れないのが難です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ユキワリイチゲです。「雪割」の名前はロマンティックですね。
今年は雪が無く、名前と合っていませんが。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ユキワリイチゲです。茎の先に一輪の花、素朴な花に魅力を感じます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
いろんな点をとるのと、長くてまとめきれませんでした。
こうして書いて頂けると、皆さんの参考になると思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
上にも記しましたように、
条件が変わって、∠AOC=∠COB=5゚ のような小さい角であれば、
CR>CP,CS>CQ になるようにとることもできますので、
長短を明らかとはしないで、きちんと示しました。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
よくわからないのですが...
この図における中点の持つ性質は...0<角AOB<180°が扇子のように閉じられても展げられても...保たれてるはずじゃないかなぁ...
CR>CS or CR<CS のどちらかになるはずではないのかなぁ...CP=CQ の長さと比べる必要はないと思うんだけど...^^;...点Cが角の二等分線上にあるときでさえ...間違ってたらごめんなさいましOrz~...

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪

イチゲって 花なのですね”

いつも珍しい花を 見せてくださりありがとうございます・

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
CR<CS になることを示すのに CP=CQ の長さと比べるのが簡単だから、
そのようににしました。
貴殿には一目瞭然でも、私には裏づけをとる必要があると思いました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
ユキワリイチゲ、春の妖精を思わせる花です。

uch*n*an  
No title

スモークマンさんへ
私も,やどかりさんに同意で,しっかりと証明した方がいいと思いますよ。
ただし...

やどかりさんへ
スモークマンさんの言っていることも,実は正しく,
CR > CP かつ CS > CQ となることは確かにあり得ますが,
この場合は,CP,CQ と比べるというロジックが破綻するだけで,
CR > CS 又は CR < CS は常にいえる,とは思います。
もちろん,この問題では,[解答4]で問題はありませんし,
>CR<CS になることを示すのに CP=CQ の長さと比べるのが簡単だから、
おっしゃるとおりです。まぁ,お気付きとは思いますが。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> CR > CS 又は CR < CS は常にいえる,とは思います。
CR > CS では △OQP>△OSR になってしまいます。
CR < CS は常にいえるのですが、その証明を[参考]として加えました。
この証明は[解答4]に比べて複雑なのでボツにしたのですが、
コメントの成り行きで復活させました。