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[答402] 解の範囲と係数

ヤドカリ

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[答402] 解の範囲と係数


 実数解をもつ実係数の2次方程式 x2-kx+a=0 の解のすべてが x>b の範囲にあるときの

 定数 k の範囲を求めると、4√10≦k<22 になりました。このとき、a=? ,b=?


[解答]

 下記のいずれかの理由により、(1)(2)(3)が成り立ちます。

 2b<k ……(1) ,bk<a+b2 ……(2) ,4a≦k2 ……(3)

 a≦0 であれば、(3)は常に成り立ちますので、(1)(2)で、4√10≦k<22 にはなりません。

 よって、a>0 で、k≦-2√a ,2√a≦k ……(3') になります。

 b=0 であれば、(2)は常に成り立ちますので、(1)(3')で、4√10≦k<22 にはなりません。

 b<0 であれば、(2)は k>a/b+b になり、(1)(3')を併せて、4√10≦k<22 にはなりません。

 よって、b>0 で、k<a/b+b ……(2') になります。

 (1)(2')(3')の共通範囲が 4√10≦k<22 になるためには、

 2b<2√a が成り立ち、2√a=4√10 ,a/b+b=22 であればよいから、

 2√a=4√10 より、a=40 、

 a/b+b=22 より、40/b+b=22 、b2-22b+40=0 、b=2,20 ですが、

 2b<2√a をみたすのは、a=40 ,b=2 です。


[理由1]

 y=x2-kx+a=(x-k/2)2-k2/4+a のグラフを考えます。

 x=b のとき y>0 だから、b2-kb+a>0 、bk<a+b2 です。

 頂点のx座標>b だから、k/2>b 、2b<k です。

 頂点のy座標≦0 だから、-k2/4+a≦0 、4a≦k2 です。


[理由2]

 解の公式により、x={k±√(k2-4a)}/2 が実数だから、4a≦k2 で、

 小さい方の解>b であればよいから、{k-√(k2-4a)}/2>b 、k-√(k2-4a)>2b 、

 k-2b>√(k2-4a) だから、2b<k で、

 両辺が 0 以上より、(k-2b)2>k2-4a 、

 k2-4bk+4b2>k2-4a 、bk<a+b2 です。


[理由3]

 判別式≧0 より、k2-4a≧0 、4a≦k2 です。

 t=x-b とおけば、x=t+b だから、(t+b)2-k(t+b)+a=0 、

 t2-(k-2b)t+a+b2-kb=0 となり、

 解の和も積も正になればよいから、k-2b>0 ,a+b2-kb>0 となり、

 2b<k ,bk<a+b2 です。

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Comments 20

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古い人  
No title

今日はマンサクの色変わりですね。

中国マンサクとか、シナマンサクとか書いてありますね。
どちらにしても綺麗な色ですね。
ポチ。

黒翼  
No title

おはようございます.

この問題,見かけは単純なのですが,実際に解こうとするときちんとした理解を求められますね.

高校生にぜひ解いてもらいたい一問というところでしょうか.
ポチ☆を入れさせていただきます.

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしはグラフから...
f(b)>0,
f'(b)<0,
解の存在から...判別式>=0 ...4a≦k^2
の条件から出せるんだぁ♪って気づけました🌸

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
是もマンサクま花なのでしょうか
初めて目にします

花形は黄色のマンサクと同じようですが
色も珍しい感じですね

とても綺麗です ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
実際にはこの色のは観たことがありません。
珍しいですね(o^-^o) ポチ♪

ひとりしずか  
No title

色違いがあるんですね~黄色しか知らなかったです。
近所にこの木がありました~
ブログやるようになった、沢山のものが目に留まります~
ポチ☆

Yasuko  
No title

おはようございます(^o^)
色違いも良いものですねぇ~✿
滅多に見かける事はありません!
近くの団地に咲いていますが珍しいです~✿

○o。.✿ポチ✿.。o○

ニリンソウ  
No title

オレンジ色のマンサクね、シナマンサクでしょうか
枯葉がまだついていますから!

ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,何気に論理力というか考え方を問う問題で,いい問題だと思います。
ただ,理系の大学入試には物足りない感じなので,文系かセンター試験によさそう。
私の解法は,[理由1]による[解答]と同じでした。
ただ,解法としてまとめませんでしたが,[理由2],[理由3]で検算はしていました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
黄色のマンサクもいいですが、この色もなかなか味わいがありますね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
2次関数または2次方程式のきちんとした理解を求められる問題にしました。
基本が曖昧だと解きにくいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿の方法ももちろん考えられますが、
私は2次方程式ごときで微分を使わないようにしています。
分数関数ではなるべく相加・相乗平均を使っているのはご存じだと思います。
なお、書庫の間違いの指摘を有難う御座いました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この色のマンサクもいいでしょう。
いろんな色が見られる花は感じが違って面白いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この色を見られたことがないようですね。
貴女のように行動範囲が広ければ、そのうちに出会えるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ブログを始めるといろんなものが見え始めますね。
これまで、見逃していたものがいかに多いかが分かります。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このマンサクも花の文化園で見ました。
黄色のマンサクと一緒に咲いていましたよ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シナマンサク自体を知らなかったので、普通に色違いのマンサクと思って撮りました。
マンサクもいろんな種類があるようですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> ただ,理系の大学入試には物足りない感じなので,
理系の受験生全員が「物足りない」と思ってくれればいいですね。
「ゆとり」世代なので、少し不安です。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

淡い色のマンサクですね”

赤もあざやかですが 色変わりも素敵ですよね” ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
マンサクもいろんな種類があるようですね。
いろいろ見られてうれしいです。