[答403] 対角線が通る立方体の個数

[答403] 対角線が通る立方体の個数


　１辺が 1 の立方体を隙間なく積み重ね、AB＝135，AD＝231，AE＝55 の直方体ABCDEFGHを作ります。

　このとき、対角線AGが通る立方体の個数は？


[解答]

　下図のように、ＡからＧに向かって対角線を引くとき、

　長方形ABCD，AEFB，AEHD に平行な面に達するときに、対角線AGが通る立方体の個数が１個増えます。

　長方形ABCDに平行な面は EFGHを含めて 55面、AEFBに平行な面は 231面、AEHDに平行な面は 135面で、

　また、長方形ABCD，AEFBに平行な面の交線上を AGが通るのは、55 と 231 の最大公約数の 11 ヶ所、

　同様に、他の交線上を AGが通るのは、GCD(231，135)＝3 ヶ所 と GCD(135，55)＝5 ヶ所 です。

　更に、長方形ABCD，AEFB，AEHD に平行な面の交点を AGが通るのは、GCD(55，231，135)＝1 ヶ所です。

　従って、対角線AGが通る立方体は 55＋231＋135－11－3－5＋1＝403 個になります。

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