FC2ブログ

Welcome to my blog

デカルトの円定理

ヤドカリ

ヤドカリ



デカルトの円定理


 半径が a,b,c,d である4つの円がどの2つも外接しているとき、

  (1/a+1/b+1/c+1/d)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/d2)

 が成り立ちます。 これを、デカルトの円定理(ソディの公式)といいます。


[証明]
 
 図のように、最も内側にある円を O,周りの3つの円を A,B,C とし、半径を d,a,b,c とします。

 ∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ とすれば、α+β+γ=2π だから、

 2cosαcosβcosγ=cosα{cos(β+γ)+cos(β-γ)}

  ={cos(α+β+γ)+cos(α-β-γ)+cos(α+β-γ)+cos(α-β+γ)}/2

  ={cos2π+cos(2α-2π)+cos(2π-2γ)+cos(2π-2β)}/2

  =(1+cos2α+cos2β+cos2γ)/2=(1+2cos2α-1+2cos2β-1+2cos2γ-1)/2

  =cos2α+cos2β+cos2γ-1

 2cosαcosβcosγ=cos2α+cos2β+cos2γ-1 になります。

 余弦定理より、

 cosα={(b+d)2+(c+d)2-(b+c)2}/{2(b+d)(c+d)}

  =(bd+cd+d2-bc)/{(b+d)(c+d)}=1-2bc/{(b+d)(c+d)}

 bc/{(b+d)(c+d)}=f とおけば、cosα=1-2f になり、同様に、

 ca/{(c+d)(a+d)}=g,ab/{(a+d)(b+d)}=h とおけば、cosβ=1-2g,cosγ=1-2h です。

 よって、 2(1-2f)(1-2g)(1-2h)=(1-2f)2+(1-2g)2+(1-2h)2-1 、

 2-4(f+g+h)+8(gh+hf+fg)-16fgh=2-4(f+g+h)+4(f2+g2+h2) 、

 2(gh+hf+fg)-4fgh=f2+g2+h2

 (2gh+2hf+2fg-4fgh)(a+d)2(b+d)2(c+d)2=(f2+g2+h2)(a+d)2(b+d)2(c+d)2

 2a2bc(b+d)(c+d)+2ab2c(c+d)(a+d)+2abc2(a+d)(b+d)-4a2b2c2

   =b2c2(a+d)2+c2a2(b+d)2+a2b2(c+d)2

 簡単にして、 2abcd(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=b2c2d2+a2c2d2+a2b2d2+b2c2d2

 a2b2c2d2 で割って、 2(1/cd+1/bd+1/bc+1/ad+1/ac+1/ab)=1/a2+1/b2+1/c2+1/d2

 1/a2+1/b2+1/c2+1/d2+2/cd+2/bd+2/bc+2/ad+2/ac+2/ab=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/d2) 、

 (1/a+1/b+1/c+1/d)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/d2) になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

こんにちは(^o^)
パンジの花色が、いろいろ~✿
配色よく植えられていますね!

○o。.☆ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

なるほど。きれいな図なので何かきれいな関係式があるだろうとは思いましたが,
こんな定理があるのですか。
これを知っていれば,[411]は二次方程式で済むので,大分楽になりますね。
もっとも,定理自体の証明は結構大変ですが。
私が鍵コメで書いた自分の解法への二つの不満な点が一気に解決しました。
ありがとうございます。勉強になります。
なお,「余弦定理より、」より二行下の
>=(bd+cd+d^2)/{(b+d)(c+d)}=1-2bc/{(b+d)(c+d)}
の最初の式の分子には「-bc」が抜けているようです。
また,円O が他の三つの円を内部に含んで接する場合は,
a + d -> d - a,b + d -> d - b,c + d -> d - c なので,
(1/a + 1/b + 1/c - 1/d)^2=2(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2)
ですね。
さらに,計算はしたくないですが (^^;,三次元,つまり球,の場合も,
似たような式がいえそうな気がしますが,どうなんでしょうか。

uch*n*an  
No title

ちょっと気になってWebで調べてみました。
どうやら,上記の球の予想は正しく,それどころか,一般に n 次元でも正しいようです。
さらに,和算家たちには円も球もよく知られたことだったようです。
和算恐るべし!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

このお花はパンジーですか?
配色よく植えられているんですね。
私のところでは寒さに強いと言われているパンジーも植えられていないです。
きれいなお花に、ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
いろんな色のある花はこのように咲かせると綺麗ですね。
長居公園で撮りました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
きれいに模様が出来ていました。
このような咲かせ方は沢山の花と場所が必要で、個人ではできませんね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
「Oは△ABCの内心になってますよね?」と書かれていますが、そうではありません。
それぞれの接点での共通接線がOを通れば内心といえますが、その保証はありません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
長居公園に植えられていました。
沢山のパンジーでこのような模様にしてもいいし、絵にしてもいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと式のミスの指摘を有難う御座います。
紙に計算して、タイプする時に一部を忘れました。
仰るように、[411]は二次方程式で済みます。
その際、負の数の解が出たら、三つの円を内部に含んで接する場合の円の半径です。

私も調べましたが、2次元でもご覧の通りの証明ですので、
これ以上の次元に挑戦する気になれません。
多分、ベクトルを使えば何とかなるのでしょうが、計算は複雑であることは想像に難くないです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
冬の間からパンジーは見られますが、隙間がいっぱい。
この時期になって成長し、きれいになります。

アキチャン  
No title

こんばんは!
色とりどりも、感じがいいですね~(o^-^o)
きれいです♪ ポチ♪

いっちゃん  
No title

こんばんは。
パンジーの束が花束みたいに咲いていて可愛いですね。
我が家には紫はありません。すごくきれいですね。今度買い足してみようかな~~ポチ

ニリンソウ  
No title

パンジー?! 不思議な感じ
色どり組み合わせて幾何学模様に目を見張ります
ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
これだけ密集して咲いていると綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
実際には花束に出来ない花ですが、地面に花束を作っていました。
紫も濃いと目立つ色ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
密集して幾何学模様が描かれていました。
見る方向によって感じは違います。

黒翼  
No title

こんな定理があったのですか.

このようなきれいな図を見かけたことは何度かありましたが,その性質まで気に留めたことはありませんでした.

ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
色とりどりのパンジー
見事ですね ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
図はよく見ますね。
以前からこの図での半径の関係を考えていたのですが、
ベクトルを使って導くとかなり長くなってしまいました。
今回、この方法を思いついて記事にしました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
パンジーは1つひとつの表情も面白いのですが、
団体で何かの模様を表現しても面白いですね。