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[答410] 定点と接点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答410] 定点と接点の距離


 a>0 かつ b>0 として、座標平面上で、A(26,a),B(b,12) とします。

 中心が A で半径が a の円 と 中心が B で半径が b の円 が 点P で外接するとき、

 a,b の値にかかわらず、P はある定点 C からの距離が一定になります。

 この C の座標は? また、CP の長さは?


[解答]

 AB2=(26-b)2+(a-12)2=(a+b)2 だから、 a2+b2-24a-52b+820=a2+2ab+b2

 ab+12a+26b-410=0 または (a+26)(b+12)=722 になります。

 P(p,q) とすれば、中心がAの円は y≧0,中心がBの円は x≧0 の範囲にあるので、p≧0,q≧0 です。

 また、P は AB を a:b に内分する点だから、

 p=(26b+ab)/(a+b)=-(12a-410)/(a+b) ,q=(ab+12a)/(a+b)=-(26b-410)/(a+b) 、

 (p+12)a+pb=410 ,qa+(q+26)b=410 です。

 これを解くと、a=(-205p+205q+26・205)/(13p+6q+156) ,b=(205p-205q+12・205)/(13p+6q+156) 、

  a+26=(133p+361q+26・361)/(13p+6q+156)=19(7p+19q+26・19)/(13p+6q+156) ,

  b+12=(361p-133q+12・361)/(13p+6q+156)=19(19p-7q+12・19)/(13p+6q+156) 、

 (a+26)(b+12)=722 に代入して、

 192(7p+19q+26・19)(19p-7q+12・19)/(13p+6q+156)2=722 、

 (7p+19q+26・19)(19p-7q+12・19)=2(13p+6q+156)2

 133p2+312pq-133q2+10982p+874q+112632=338p2+312pq+72q2+8112p+3744q+48672 、

 -205p2-205q2+2870p-2870q=-63960 、p2+q2-14p+14q=312 、

 (p-7)2+(q+7)2=410 となって、

 C(7,-7) とすれば、CP=√410 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
名前は気の毒ですが、本当に可愛くて大好きです(o^-^o)
ポチ♪

Yasuko  
No title

おはようございます♪
お花は可愛くて愛らしいお花です(*^^)v
アハハ~お花の名前は気の毒です( ..)φ
私のようです~(笑)

○o。.☆ポチ☆.。o○

古い人  
No title

木瓜の花とも綺麗に咲いてますね。

この頃は色も白とか柄入りとか出来てきましたね。
ポチ。

ひとりしずか  
No title

赤一色のボケはあまり見ないです~
綺麗ですね~
花びらは梅に似てますが、感じが違いますね。ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

ボケの花
春の訪れと同時に花が咲き私たちを喜ばせてくれますね

他の花は寒くて眠っているのに寒さを忘れたかのように咲くから
「ボケ」というのだと誰かが言っていたのを思い出します ポチ

uch*n*an  
No title

要するに,P の軌跡が円の一部になることを示せばいいので,
ある意味,単純な問題なのですが,うまくやらないと計算が大変な問題でした。
もっとも,答えを求めるだけならば,軌跡が円になることを仮定して,
三つの特徴的な点で評価する,というズルイ解法はありますが。
私の解法は二つ。
(解法1)は,そのズルイ解法でした。
最初,二次方程式の判別式を使って p,q を求め,[解答]と同じようにやろうとしたのですが,
すごい式になってうまくいかず,取り敢えず,ズルイ解法に逃げた次第です。
(解法2)は,ほぼ[解答]と同じです。P が内分点であることを使うと大分楽になりますね。
それでもその後の計算は結構大変ですが。
なお,その後,判別式を使う解法でも,[解答]と同じ p,q が得られることは確認しています。
ところで,スモークマンさんのおっしゃるように,この円には名前があるのでしょうか?

uch*n*an  
No title

4月になって新年度になってから,少し状況が変わって少し忙しくなっています。
特に,明日,明後日は仕事が立て込んでいるので,問題は見られると思うものの,
この問題のように私の暗算レベルを超える計算を要求されたり,そもそも難問だったら,
対応できないかな,と思います。そのときはご勘弁を。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

木瓜の花は 色あざやかで元気貰えますね” ポチ

tsuyoshik1942  
No title

何度か真っ当な解の追求を試みたのですが、到達できませんでした。
解開示を楽しみに待った問題の一つです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
文章から軌跡が円であることを匂わせました。
この円に名前があるかどうかは知りません。
調べがつきましたら教えて下さい。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
名前と関係なく、好きな花のひとつです。
仰る通り、可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ボケが旨くないと、ツッコミが滑ります。
貴女は、他人のツッコミを上手に導くのですか?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
木瓜も何色かありますね。
でも、緑の葉に包まれて、赤がよく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらではでは赤が多いように思います。
いたる所で赤いボケを見ます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ボケは早起きして寝ぼけているのですか??
でも、いち早く春を知らせてくれるのは素敵ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
スモークマンさんへのリコメにも書きましたが、
この円に名前があるかどうかは知りません。
分かりましたら教えて下さい。

ところで、このブログの目的のひとつは数学を楽しむこと。
時間の融通がつかない時に無理されるのは本意ではありません。
なお、問題はこのごろ易しくするよう心がけているのですが、
思うようにいかないこともよくあります。
面倒な問題になってしまったら御免なさい。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
ボケの花、私は好きです。今、色鮮やかに咲き誇っています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
「楽しみに待った」って言われると、頑張らなきゃいけませんね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
今日は木瓜の花ですね。これも可愛いです。
実は瓜に似てるといいますが、まだ見たことはありません。ほんとに色鮮やかに咲いていますね。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
私も実を見たことはありません。
「木瓜」と書くので瓜に似ているのでしょう。
花が終わってから、注意して見てみたいと思います。