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[答411] 3つの円に外接する円

ヤドカリ

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[答411] 3つの円に外接する円


 図のように、半径が 1,3,12 の円が互いに2つずつ外接しています。

 この3つの円に外接する円の半径は?


[解答1]

 A(5,0),B(9,0),C(0,12) とすれば、BC=15=3+12,CA=13=12+1,AB=4=1+3 だから、

 この3点を中心に円を描けば問題の図になります。

 求める円の中心を P(x,y),半径をrとすると、

 PA2=(x-5)2+y2=(r+1)2 より、x2+y2-10x=r2+2r-24 ……(1)

 PB2=(x-9)2+y2=(r+3)2 より、x2+y2-18x=r2+6r-72 ……(2)

 PC2=x2+(y-12)2=(r+12)2 より、x2+y2-24y=r2+24r ……(3)

 (1)-(2) より、8x=-4r+48 、x=6-r/2 、

 (1)-(3) より、-10x+24y=-22r-24 、24y=10x-22r-24=36-27r 、y=3/2-9r/8 、

 (1) に代入して、(6-r/2)2+(3/2-9r/8)2-10(6-r/2)=r2+2r-24 、

 これを解くと、r=4/11,12 になります。

 なお、中心の座標は次のようになります。

 r=4/11 のとき、(x,y)=(64/11,12/11), r=12 のとき、(x,y)=(0,-12)


[解答2]

 {(b+c)+(c+a)+(a+b)}=a+b+c だから、3辺が b+c,c+a,a+b である三角形の面積は、

 ヘロンの公式により、√{(a+b+c)abc} になります。

 図のように、半径が a,b,c の円が2つずつ外接し、その隙間に半径が d の円があって、

 3つの円と外接しているとき、面積の関係から次の式が成り立ちます。

 √{(a+b+c)abc}=√{(b+c+d)bcd}+√{(c+a+d)cad}+√{(a+b+d)abd} になります。

 本問では、a=12,b=3,c=1 のときの d の値 または a=12,b=3,d=1 のときの c の値を

 求めればよいことになります。

 なお、いずれも適する半径が1つ存在すれば、それより大きい半径の円も小さい半径の円も3つの円に

 外接しないことは図形的に明らかですので、方程式の解を1つ求めればよいことになります。

 a=12,b=3,c=1 のとき、

 √{(12+3+1)・12・3・1}=√{(3+1+d)・3・1・d}+√{(1+12+d)・1・12・d}+√{(12+3+d)・12・3・d} 、

 24=√{3(4+d)d}+2√{3(13+d)d}+6√{(15+d)d} になり、d=4/11 のときに成り立ちます。

 a=12,b=3,d=1 のとき、

 √{(12+3+c)・12・3・c}=√{(3+c+1)・3・c・1}+√{(c+12+1)・c・12・1}+√{(12+3+1)・12・3・1} 、

 6√{(15+c)c}=√{3(4+c)c}+2√{3(13+c)c}+24 になり、c=12 のときに成り立ちます。

 よって、求める半径は 4/11,12 になります。

☆ √が消えるまで2乗し簡単にすれば8次方程式になり、因数分解すれば、いずれも

 (x-12)(11x-4)(x+16)3(11x3+584x2-1744x+768)=0

 を解くことになりますが、3次の因数が有理数の範囲でこれ以上因数分解できません。


[解答3]

 デカルトの円定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1194.html )によれば、

 半径が a,b,c,d である4つの円がどの2つも外接しているとき、次の式が成り立ちます。

  (1/a+1/b+1/c+1/d)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/d2)

 本問の場合、求める半径を r とすれば、

 (1+1/3+1/12+1/r)2=2(1+1/9+1/144+1/r2) 、(12+4+1+12/r)2=2(144+16+1+144/r2) 、

 (17+12/r)2=2(161+144/r2) 、(17r+12)2=2(161r2+144) 、33r2-408r+144=0 、11r2-136r+48=0 、

 (11r-4)(r-12)=0 、r=4/11,12 になります。

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Comments 20

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ひとりしずか  
No title

白一色の木瓜あまり見たことないです~

木瓜は花がびっしりと付き、賑やかというか、
華やかというか・・・
蕾がいっぱい見えますから、暫く楽しめますね~ポチ☆

ニリンソウ  
No title

赤、ピンク、とみてきて真っ白!
いいなぁ~インパクトありますね
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
お花、やっぱり 白色がいいですね(o^-^o)
ポチ♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます

真っ白は良いですね”

むくな気持ちで 出直しますね”毎日を~~ ポチ

uch*n*an  
No title

そうか,なるほど。[解答1]には気付きませんでした。こんな座標の入れ方があったんですね。
もっとも,これは,3:4:5 か 5:12:13 から気付くべきでした。残念。
私の解法は[解答2]でした。8次方程式は解く気にはなれなかったので,勘だよりの方です。
解の一意性は明らかなのでこれでも立派な解法ですが,ちと情けないです。
[解答3]は,デカルトの円定理を知らないと,その証明自体結構大変なので,難しいでしょう。
知っていればこれですね。
この問題を解くだけならば[解答1],問題の背景や発展性では[解答3]に,軍配を上げたいです。

Yasuko  
No title

こんにちは(^o^)
真っ白イイですね!
あまり白は見かけませんが蕾もまだあり楽しめますねぇ~✿

○o。.☆ポチ☆.。o○

tsuyoshik1942  
No title

半径1,3,12の円の中心を(0,0),(0,4),(-5,12)にとり、以下は解答1と同じ手法で解きました。

この問題は座標のとり方の運に恵まれ、うまくいったのですが
「413」問、手も足もでません。ミサイルに竹やりで向かっているようなカンもありますが、この後も何度か挑戦してみます。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
解法2は思い浮かばなきゃいけませんでしたぁ...^^;
わたしはヒントのデカルトの定理で安直に...Orz...
[413]壁に何度も弾き返されてます...^^;...

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
白いお花はなんというお花でしょうか?
蕾も五弁の花びらも可愛いですね。
ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
デカルトの円定理、きれいな公式ですね。
出題者の私もいい復習になりました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰るように木瓜にしては大きな株でした。
白もいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰るとおり、真っ白な木瓜はあまり見かけません。
目にしたのは幸運でした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い木瓜はこちらでも珍しいです。
見かけた時は心楽しく写真を撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
梅や桃も赤白ピンク、この色の花は多いですね。
私は白がいちばん好きです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
真っ白はいいです。かつて「無垢な気持ち」で宮崎に行かれたのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]で解いてもらって、デカルトの円定理を紹介するつもりで出題しました。
[解答2]は計算が複雑で、ボツにしていたのですが、
貴殿だけでなく他の方の解答にもありましたので、復活させました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この真っ白の木瓜は大仙公園の片隅、
普段、気にしていない場所ですが、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
[413]は難しいと思いますが、試行錯誤しつつ楽しんで頂ければ幸いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
> わたしはヒントのデカルトの定理で安直に...Orz...
これを紹介する問題ですのでそれで結構です。
[413]は壁ですか? ベルリンの壁も崩れる時は早かったですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
この花は、白は珍しいけど、木瓜の花です。
一昨日から色違いの木瓜の写真を使っています。
よかったらご覧下さい。