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[答412] 三角形の面積比

ヤドカリ

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[答412] 三角形の面積比


 正三角形ABCがあって、∠BPC=90゚,∠CPA=150゚,∠APB=120゚ のとき、

 △PBC:△PCA:△PAB (面積比) は?


[解答1]

 余弦定理より、

 PB2+PC2=PC2+PA2-2PC・PAcos150゚=PA2+PB2-2PA・PBcos120゚ 、

 PB2+PC2=PC2+PA2+(√3)PC・PA=PA2+PB2+PA・PB 、

 よって、PB2-PA2=(√3)PC・PA ,PC2=PA2+PA・PB 、

 (PB2-PA2)2=3PC2PA2=3(PA2+PA・PB)PA2 、PB4-2PA2PB2+PA4=3PA4+3PA3PB 、 

 PB4-2PA2PB2-3PA3PB-2PA4=0 、(PB-2PA)(PB+PA)(PB2+PA・PB+PA2)=0 、

 PB=2PA よって、PC2=PA2+PA・PB=3PA2 、PC=(√3)PA 、

 よって、PA:PB:PC=1:2:√3 です。

 △PBC:△PCA:△PAB=2△PBC:2△PCA:2△PAB=2(√3):(√3)・1sin150゚:1・2sin120゚

  =2√3:(√3)/2:√3=4:1:2 になります。


[解答2]

 ∠BPC+∠CPA+∠APB=360゚ だから、Pが平面ABC上にあり、△ABCの内部にあります。

 面積比は正三角形の大きさによらないので、A(-√3,1),B(√3,1),C(0,4) とします。

 円 x2+y2=4 について、劣弧ABの中心角が 120゚ だから、円周角は 60゚、

 ∠APB=120゚ より、Pは劣弧AB上にあることになります。

 また、∠BPC=90゚ なので、Pは線分BCを直径とする円周上にあり、この円は、

 x(x-√3)+(y-1)(y-4)=0 すなわち x2+y2-(√3)x-5y+4=0 です。

 2つの円 x2+y2=4 ,x2+y2-(√3)x-5y+4=0 の交点は、

 連立方程式を解いて、B(√3,1),P(-3(√3)/7,13/7) になり、

 PA2=12/7 ,PB2=48/7 ,PC2=36/7 だから、 

 PA2:PB2:PC2=1:4:3 、PA:PB:PC=1:2:√3 で、

 以下、[解答1]と同様です。


[解答3]

 △PBC≡△DBC,△PCA≡△ECA,△PAB≡△FAB となるように、△ABC の外部に点D,E,F をとります。

 △AFE∽△BDF∽△CED は頂角が 120゚,底角が 30゚ の二等辺三角形になるので、

 ∠FDE=30゚,∠DEF=90゚,∠EFD=60゚ だから、EF:FD:DE=1:2:√3 です。

 PA:PB:PC=AE:BF:CD=EF:FD:DE=1:2:√3 となって、以下、[解答1]と同様です。


☆ ∠BPC=α,∠CPA=β,∠APB=γ のとき、次のようになります。

 △PBC:△PCA:△PAB=sinα/sin(α-60゚):sinβ/sin(β-60゚):sinγ/sin(γ-60゚)


[解答4] 再出発さんのコメントより

 AB の中点を M とすれば、BC を直径とする円は点M,P を通ります。

 ∠MPB=30゚ なので ∠MPA=∠CPB=90゚ また、∠AMP=∠BCP だから、 △AMP∽△BCP です。

 更に、BC=2AM だから、相似比は 1:2 で、△BCP=4△AMP になります。

 また、PC=2PM で、∠CPA=150゚,∠MPA=90゚ だから、

 △CPA と △MPA は PA を底辺とすれば、高さが等しくなり、△CPA=△MPA です。

 △PBC:△PCA:△PAB=4△AMP:△MPA:2△PAM=4:1:2 です。

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Comments 20

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スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
わたしは再出発さんのに似てました♪
が...一応晒します...^^;...Orz~

BCを直径とする円を描き、AB,AC との交点をD,Eとする。
△ADEは元の△ABCの辺の長さが1/2の正三角形
角EPC=角DPB=30°, 角EPD=90+30+30=150°
つまり…
△PAD∽△PCB=直角三角形
△PAE∽△PAE, △PED∽△PAC
△PAB=2△PAD=2*(1/4)*△PBC,
△PAC=2△PAE=2*(1/4)*△PAB
けっきょく…△PAC=(1/2)*△PAB=(1/4)*△PBC なので...
△PBC: △PAC: △PAB =4 : 1 : 2

アキチャン  
No title

おはようございます。
白いお花で、本当にきれいですね(o^-^o)ポチ♪
フルーツパークで何度か撮っていますが、
もう少し観れるので、今度行った時 撮りたいです。。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
わたしが知ってる梨の花と違って八重みたく咲いて美しいから知らない花に見えました。。可愛いです^^
ポチ

Yasuko  
No title

こんにちは(^o^)
真っ白で綺麗なお花ですね!
梨のお花は見るのは初めてだと思います!
秋になれば美味しい梨が生るのですねぇ~(^^)/~~~フムフム

○o。.☆ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

これは,いろいろな解法がある楽しい問題でした。
私の解法は三つ+α。「+α」は解答時に示唆したものもそうでないものもあります。
(解法1)は,算数解法。
(解法2)は,(解法1)を三角関数で簡便化したもので,[解答3]と少し似ています。
(解法3)は,[解答1]とほぼ同じです。
「+α」のうち,示唆したものは,座標の入れ方が少し違いますが,[解答2]で,
示唆しなかったものは,[解答3]です。[解答3]は(解法2)で十分と思い書きませんでした。
比較も兼ねて,(解法1),(解法2)を書いておきますね。
[解答4]は,思い付きませんでした。なかなか面白いですね。
また,似ている,実質同じ,とはいえ,スモークマンさんの解法も面白いです。
個人的には,[解答4]よりもこっちの方が好きかなぁ。

uch*n*an  
No title

(解法1) 算数で
△PBC を B の回りに反時計回りに 60°回転し BC を BA に重ね P の移動先を P' とします。
BC = BA なので移動先の C は A です。また,△BPP' は正三角形で,PP' = PB,
∠AP'P = ∠BP'A - ∠BP'P = 90°- 60°= 30°
∠APP' = ∠APB - ∠BPP' = 120°- 60°= 60°
で,∠P'AP = 90°となり,P'P:AP = 2:1,です。
ここで,A から CP の延長, BP の延長に垂線を下ろし,それらの足を H,I とすると,
∠APH = 30°,∠API = 60°,△P'PA ∽ △PAH ∽ △API です。これより,
BP:AP = P'P:PA = 2:1 = PA:AH,BP:AH = 4:1,CP:AI = AP':IA = P'P:AP = 2:1
△PBC:△PCA:△PAB = (BP * CP):(CP * AH):(BP * AI)
= (4 * 2):(2 * 1):(4 * 1) = 4:1:2
になります。

uch*n*an  
No title

(解法2) 最初は算数っぽくその後は三角関数
(解法1)の最初と同じようにして,△APP' は辺の比が 1:2:√3 の直角三角形で,
PB:PC:PA = PP':P'A:PA = 2:√3:1,です。そこで,
△PBC:△PCA:△PAB
= (PB * PC * sin(90°)):(PC * PA * sin(150°)):(PA * PB * sin(120°))
= (2 * √3 * 1):(√3 * 1 * 1/2):(1 * 2 * √3/2) = 4:1:2
になります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
早いコメントですね。
そして、梨だとすぐ分かるのは流石です。
これは二十世紀梨です。白い花がいいですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
タイプミスのご指摘は早速訂正しました。
いろんな解き方があり、工夫すればなんとかなる問題ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
梨の花はあまり見る機会がないのですが、真っ白な花が目に止まって撮りました。
仰る通り、清楚な感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
果物や野菜の花は観賞用ではありませんが、なかなかいいものです。
白が目立ちました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
似ていたのでとりあげませんでしたが、貴殿の解答も立派ですね。
いろいろ工夫の余地がある問題でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女ももうじき見ることができるのですね。
果物の花もなかなか味わいがあります。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
梨の花を御存じなのですね。
私はなかなか見る機会に恵まれませんが、偶然、二十世紀梨の花を見られました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これも都市緑化センターで見ました。
去年見逃したのは時期が外れてしまったかも知れません。
何度行っても新たな発見があります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントといろいろな解法を有難う御座います。
解法が多くてなかなかまとめきれませんでした。
特に、図を追加するのは時間がかかります。
ところで、私は[解答3]を気に入っています。
角を指定しての一般化が容易だからです。
貴殿の(解法2)もそうですが、やはり図形的工夫&三角関数が最強ですね。

ひとりしずか  
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ナシの花始めて見ました。
きれいですね~!
二十世紀ですか・・実と結びつかないですよ・・ポチ☆

いっちゃん  
No title

あたぼうよ。。
わたしは田舎の育ちです^^

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
ちょっと雰囲気が違いますが、リンゴも似た花が咲きますね。
バラ科の花だというのは分かりますが。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
存じております。笑