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[答413] 数列の無限積

ヤドカリ

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[答413] 数列の無限積


 a1=1,an+1=√(2+an) (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }について、

 a1・a2・……・an/2n の n→∞ のときの極限値は?


[解答]

 an=2cosθn (0<θn<π/2) とおきます。

 a1=2cosθ1 より、θ1=π/3 になります。

 漸化式より、2cosθn+1=√(2+2cosθn) 、cosθn+1=√{(1+cosθn)/2}=cos(θn/2) だから、

 θn+1=θn/2 、数列{ θn }は公比 1/2 の等比数列になります。

 2θn+1=θn から、 2n+1θn+1=2nθn=……=2θ1=2π/3 です。

 ansinθn=2sinθncosθn=sin2θn=sinθn-1

 よって、

 a1・a2・……・an-1ansinθn=a1・a2・……・an-1sinθn-1=……=a1・sinθ1=1・sin(π/3)=(√3)/2 、

 a1・a2・……・an-1an=(√3)/(2sinθn) 、

 また、2nθn=2π/3 より 2n=2π/(3θn) だから、

 a1・a2・……・an-1an/2n=(3√3)θn/(4πsinθn) となって、

 n→∞ のとき θn → 0 、θn/sinθn → 1 だから、 a1・a2・……・an-1an/2n → (3√3)/(4π) です。

☆ (3√3)/(4π)=0.41349667…… です。

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Comments 19

There are no comments yet.
古い人  
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ウワーー今日は菊咲きのモモですね。

見事に咲いてますね。
花は綺麗ですが実はどうですね実を見たことが有りませんね。
ハナモモは実が付かないかもね。
ポチ。

さっちゃんこ  
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おはようございます
菊咲きの桃 とても綺麗ですね
「京舞子」でしょうか 桃の花とは思えない花です ポチ

tsuyoshik1942  
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本題はまったくのお手上げでした。解答を拝見しても今のところ未消化です。今後、類似問に接した時、答えられるよう勉めます。

アキチャン  
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おはようございます。
キクモモは一緒でしたね(o^-^o)
今は、いろんなお花がいっぱいです♪ ポチ♪

uch*n*an  
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これは,理系かなと思いますが,大学入試でたまに見るパターンなので,標準的と思いました。
しかし,やどかりさんのリコメや皆さんのコメントを見る限り,なかなかの難問だったようです。
私の解法も[解答]と同じです。
確かに私も他の解法を思い付いていないので,気付かないと難問かも知れません。
多分,山は三つ。
一つ目は,cos の半角の公式を使って √ をはずせるかどうか。
二つ目は,sin の倍角の公式を使って a(n) の積を簡単にできるかどうか。
三つ目は,lim{θ->0]{sinθ/θ} = 1 が使えるかどうか。
三つ目は忘れている方もいるかもしれませんが,sin の微分の公式を導く際に必要な,
基本的な公式,というより性質,です。
y = sin(x) の原点での接線(の傾き)を表す一つの表現,といってもいいですね。

ニリンソウ  
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色紙をくっつけたようですね!
花桃? みた事あるような無いような
ポチ

uch*n*an  
No title

結局は同じことですが,
2 + t^2 + 1/t^2 = (t + 1/t)^2
なので,
a(n) = x^((1/2)^n) + (1/x)^((1/2)^n)), a(0) = -1
として試してみるという手はありますね。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キクモモは桃とは思えないような花ですね。
でも、これはこれで素敵です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
品種名まで書かれていませんでしたので、「京舞子」かどうか分かりませんが、
本当に桃の花とは思えませんね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
下に uch*n*anさんが書かれているように、
3つの山をクリアしないと解けませんので、難しかったと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キクモモを初めて見た時は、桃だとは思えませんでした。
キクモモと書かれずに○○モモと書かれていたら、間違いだと思いそうです。
キクとついているから、菊に似ていると判断できました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
a1=1 だから、t^2 + 1/t^2 = 1 を解けば、
cos(π/3)±i・sin(π/3) になるので、
結局は 2cosθ とおくことになりますね。
a1>2 なら、a(n) = x^((1/2)^n) + (1/x)^((1/2)^n) ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
近くの公園に咲いておりました。
ということで、この時期限定ですが、私はよく見ます。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
いろいろ試してもうまくいかないので...三角関数だろうなぁとは思うも...思いつけず...^^;
使いこなせたら凄い武器ですねぇ!!
ちなみに..-2<a(1)<2のときも...2<a(1) のときも lim a(n)=2 になりますが...a(1)=1 以外でも与式の値は求まるのでしょうか?...Orz~

ひとりしずか  
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木に菊の花???
観賞用のももなんですね~
始めて知りました~きれいですね~!!ポチ☆

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
> a(1)=1 以外でも与式の値は求まるのでしょうか?...
きちんと確かめたわかではありませんが、多分、収束すると思います。
時間ができたら考えてみます。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
本当に、樹に菊の花が咲いているようでした。
いろんな種類の植物があるものです。

黒翼  
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お見事ですね.

初めの一行ですべてを悟りました.
三角関数の変形自体は比較的慣れていて,もちろん最後の極限も知っていましたので,この置き換えさえ思いつけばという感じです.

明日,解答を見ずに再度解いてみます.
ポチ☆

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
このようにおけば旨くいくことを思いつくのと楽しいですね。
プロセスを愉しむのが数学だと思います。