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[答414] 最大公約数と最小公倍数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答414] 最大公約数と最小公倍数


 A<B を満たす2つの自然数 A,B において、その最大公約数を G,最小公倍数を L として、

 A2+B2+G2+L2=1000 を満たす(A,B)=?


[解答]

 A=aG,B=bG とすると、a,b は互いに素で、L=abG だから、

 a2G2+b2G2+G2+a2b2G2=1000、

 (a2+1)(b2+1)G2=1000 ですので、

 G=1,2,5,10 しかありません。

 G=1 のとき、(a2+1)(b2+1)=1000、

  1000=2・500,4・250,5・200,8・125,10・100,20・50,25・40

  ですが、(a2+1)(b2+1) になるものはありません。

 G=2 のとき、(a2+1)(b2+1)=250、

  250=2・125,5・50,10・25 ですので、

  a2+1=5,b2+1=50 のときに成り立ち、

  (a,b)=(2,7)、 (A,B)=(aG,bG)=(4,14) を得ます。

 G=5 のとき、(a2+1)(b2+1)=40、

  40=2・20,4・10,5・8 ですが、(a2+1)(b2+1) になるものはありません。

 G=10 のとき、(a2+1)(b2+1)=10、

  10=2・5 ですので、a2+1=2,b2+1=5 、

  (a,b)=(1,2)、 (A,B)=(aG,bG)=(10,20) を得ます。

 従って、(A,B)=(4,14),(10,20) です。

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

これは、解答と同じ手法で解きました。ただ、
G*(a^2+1)*(b^2+1)=1000と整理した後も手間取りました。
なお、この時はまだ「413」の方に気をとられておりました。

uch*n*an  
No title

この問題は,文字の使用が微妙ですが,考え方は算数の範囲と思われて,
比較的容易な問題でした。私の解法も[解答]と同じです。
もっとも,容易だとしても,大学入試などで出題されてちゃんと解けるかは,
また別の話 (^^;

ゆうこ つれづれ日記  
No title

今日も見たことのないお花だわ~~
白いお花は大好き。
ヤドカリさん地方は暖かいでしょう。
ポチッ☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは

こちらも リキュウバイ お初と思います。
見てるのだけど 名前わからずかもですね”笑い^^ ポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
懐かしい問題でした♪
ちなみに...右辺が100のときは...(1,7)...10のときは...(1,2) になりました...^^...こりゃ簡単過ぎ Orz...

いっちゃん  
No title

こんばんは。
今日はこちらは、午後からすごい雨風でした。。
きれいに咲いた花には可愛そう。。

リュウバイの白さは眩いばかりです。ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
利休梅、その白い姿は綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
他にも白い花をよく見かける季節になりました。
桜の季節のあとで、よく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い花が密集して咲いている姿は素敵です。
春は宮崎の方が季節が進んでいますので、そちらのブログで見て、待っていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い花の満開、本当に綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
[413]に比べるとかなり易しいと思います。
だれが解いても解法に大差ない問題ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、容易に解ける問題です。
このごろ、最大公約数・最小公倍数はあまり取り上げられないようで、
大学入試にこんな問題が出たら、算数時代の経験・実績?が必要と思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
こちらは暖かくなりました。
この利休梅、咲き誇っています。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
さっちゃんこさんがすでに終わったと仰っているのですから、
そちらでも終わっているのでしょう、来年になりますね。
来年、ご覧になったときすぐに分かるように、よ~く写真を見て頂ければ幸いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
簡単になりすぎないように、右辺を決めました。
しかも、端数のない数がいいですね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
こちらは、明日の天気が荒れるようです。
春の天気はめまぐるしく変わります。
それでも多くの花にとっては春がいいのですね。

ひとりしずか  
No title

真っ白で、遠目には雪が降ったみたいでしょうね~
花びらがちょっとプロペラみたいに・・
花びら大きく見えますね~ポチ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
これは花の文化園という所で撮ったものですが、沢山の利休梅が咲いていました。
遠目には雪のようでしたよ。

黒翼  
No title

この問題は,因数分解できた後も苦労しました.

僕の解法は大分遠回りなのかと思いましたが,みなさん同じような感じだったのですね.
粘り強く場合分けする能力が必要なのかもしれません.
ポチ☆を入れておきますね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
この問題はこのような解き方しかないと思います。
整数問題は面倒なものが多いですね。