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[答415] 六角形内の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答415] 六角形内の三角形


 周囲の長さが 100 で、全ての内角が 120゚ の六角形ABCDEFがあり、AB=10,CD=20,EF=5 です。

 辺BCを 1:2 に内分する点をP,辺DEを 3:1 に内分する点をQ,辺FAの中点をR とすれば、

 △PQR の面積は 六角形ABCDEF の面積の何倍?


[解答1]

 まず、AB+BC+CD+DE+EF+FA=100 、10+BC+20+DE+5+FA=100 、BC+DE+FA=65 です。

 また、図のように、BC,DE,FA を延長して 正三角形LMN を作り、その1辺を k とすれば、

 BC=k-10-20=k-30,DE=k-20-5=k-25,FA=k-5-10=k-15 だから、

 BC+DE+FA=k-30+k-25+k-15=65 、k=45 となり、BC=15,DE=20,FA=30 です。

 従って、LR=25,LP=15,MP=30,MQ=35,NQ=10,NR=20 です。

 正三角形LMN の面積を 452S=2025S とすれば、

 六角形ABCDEF=△LMN-△LBA-△MDC-△NFE=2025S-102S-202S-52S=1500S 、

 △PQR=△LMN-△LPR-△MQP-△NRQ=2025S-15・25S-35・30S-20・10S=400S 、

 △PQR/六角形ABCDEF=(400S)/(1500S)=4/15 になります。


[解答2] saraoさんのコメントより

 LR=25,LP=15,MP=30,MQ=35,NQ=10,NR=20 は[解答1]と同じです。

 1辺の長さが 5 の正三角形2つ分の菱形の格子を描くと、

 六角形ABCDEには、内部の格子点が 21個、辺上の格子点が 20個だから 菱形 21+20/2-1=30 個分、

 △PQRには、内部の格子点が 7個、辺上の格子点が 4個だから 菱形 7+4/2-1=8 個分の面積で、

 △PQR/六角形ABCDEF=8/30=4/15 になります。

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Comments 20

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古い人  
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今日はシャガの花ですね。

此の時期に林の縁など彼方此方で見えますね。
此れも帰化植物だそうですね。
ポチ。

さっちゃんこ  
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おはようございます

今日のシャガ 「古い人」さんと一緒ですね
ときどき同じ花のアップがありビックリすることもあります

ヤドカリさんの所もシャガの群生" 凄いですねー
とても綺麗です ポチ

アキチャン  
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おはようございます。
名古屋市内の公園と同じような景色です。
そこで私が初めてシャガの名前を覚えたので、とても印象があります(o^-^o)
ポチ♪

ひとりしずか  
No title

わぁ~群生してると、目が覚めるようです~ポチ☆

uch*n*an  
No title

この問題は途中で連立方程式を解くことになりますが,これぐらいは線分図で解けるので,
一応,算数問題だと思います。もっとも,初見で正三角形に気付くかどうか。
私の解法は三つ。
(解法1)は,[解答1]と同じ。
(解法2)は,六角形の内部に正三角形を作りますが,似たような解法です。
(解法3)は,六角形の外部に正三角形の代わりに平行四辺形を作りますが,
やはり似たような解法です。
実はこの問題の裏には,座標軸の交差角が 60°又は 120°の斜交座標が隠れています。
(解法3)はそれを強く意識した算数解法です。
なお,確か高校では斜交座標は正式には習わないので,ベクトルの応用になると思います。
[解答2]は,いわば,斜交座標でのピックの定理ですね。

ニリンソウ  
No title

シャガがこれだけ群生は見事です!
薄暗い湿ったところが好きなようですが
色白の美人ですね
ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

シャガだわ~~~
こんなに密集して咲いて、ここはシャガ園でしょうか?
清楚な感じのお花、いいですね。
ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
そちらのシャガも見せて頂きました。
帰化植物といっても、かなり古い時代に帰化したそうで、
学名の「Iris japonica」って日本そのものですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
大阪府と愛知県の気候が似ているのでしょうね。
わたしも記事をUPしてから、訪問して驚くことがあります。
シャガは1輪でも美しいと思いますが、群生していると迫力があります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私はいつシャガの名前を覚えたのか、定かではありませんが、
かなり前のGWに、山に向かう道で沢山咲いていて、
帰宅後に調べた記憶があります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
群生していると、目につきます。いつ見てもいいものです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
斜交座標でも面積比は変わりませんので、このような問題には有用ですね。
ピックの定理を使う解答は図を描くのが面倒ですので、
私は無意識に避けるのですが、
saraoさんのコメントにそのことが触れられており、
時間もあったので解答に追加しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
胡蝶花よも呼ばれるように、中々の美人です。
燦々とした太陽の下で咲く花でないので、しっとりした雰囲気があります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
ここはシャガ園というようなものでなく、大阪城公園の一角です。
桜の季節が終わる頃、綺麗に群生しますので、毎年この時期に見ます。

こっこちゃん  
No title

(o^-^o) ウワ~~
シャガ こんなに群生は 初めてみました~~

好きな 花なので 感嘆しながら眺めています。 ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
シャガの模様の入った薄紫の花は、私にとっても好きな花の1つです。
群生していると圧倒されます。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
白い花が続きますね♪。白い花は大好きです。
わたしもシャガは山で見つけて「あれ?何の花だろう」と
思ったものでした。やどかりさんと違うのは帰ってからも
調べはしませんでした。。笑
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
白い花を続けてアップしています。
日陰になるような所に沢山咲くシャガはこの季節の楽しみです。
シャガも季節を感じる花です。

黒翼  
No title

コメントが遅くなりました.

正三角形に気づけませんでした.
ポチ☆を入れておきますね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
気づけば簡単な問題ですね。