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[答417] 3の倍数である確率

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答417] 3の倍数である確率


 nを自然数とし、n以下の自然数から無作為に異なる3個の自然数を選ぶとき、

 その和が3の倍数である確率を p(n) で表すことにします。

 このとき、p(n)=p(417) を満たす自然数nの値は?


[解答]

 n以下の自然数を、3で割った余りによって、次の3つのグループに分けます。

 3の倍数のグループ ,3で割って1余る数のグループ ,3で割って2余る数のグループ

 3つの数の和が3の倍数であるのは、同じグループから3つを選んだ場合と、

 各グループから1つずつ選んだ場合です。

 kを自然数として、

 n=3k-1 で表されるとき、各グループに入る数は、k-1 個,k 個,k 個だから、

 p(3k-1)={k-13+2・k3+(k-1)k2}/3k-13=6{k-13+2・k3+(k-1)k2}/(6・3k-13)

  ={(k-1)(k-2)(k-3)+2k(k-1)(k-2)+6(k-1)k2}/{(3k-1)(3k-2)(3k-3)}

  ={(k-2)(k-3)+2k(k-2)+6k2}/{3(3k-1)(3k-2)}

  =(9k2-9k+6)/{3(9k2-9k+2)}={1+4/(9k2-9k+2)}/3

 n=3k で表されるとき、各グループに入る数は、k 個,k 個,k 個だから、

 p(3k)={3・k3+k3}/3k3=6{3・k3+k3}/(6・3k3)

  ={3k(k-1)(k-2)+6k3}/{3k(3k-1)(3k-2)}={3(k-1)(k-2)+6k2}/{3(3k-1)(3k-2)}

  =(9k2-9k+6)/{3(9k2-9k+2)}={1+4/(9k2-9k+2)}/3

 n=3k+1 で表されるとき、各グループに入る数は、k 個,k+1 個,k 個だから、

 p(3k+1)={k+13+2・k3+(k+1)k2}/3k+13=6{k+13+2・k3+(k+1)k2}/(6・3k+13)

  ={(k+1)k(k-1)+2k(k-1)(k-2)+6(k+1)k2}/{(3k+1)・3k(3k-1)}

  ={(k+1)(k-1)+2(k-1)(k-2)+6(k+1)k}/{3(3k+1)(3k-1)}

  =(9k2+3)/{3(9k2-1)}={1+4/(9k2-1)}/3

 ここで、9k2-9k+2 は 単調増加で、異なる k に対して等しい値になりません。

 9k2-1 も 単調増加で、異なる k に対して等しい値になりません。

 また、9k2-9k+2 の形の数と 9k2-1 の形の数とは、

 9で割った余りが違いますので、等しくなることはありません。

 従って、p(n) の値が等しくなるのは、p(3k-1)=p(3k) のときだけです。

 p(417)=p(3・139)=p(3・139-1)=p(416) で、

 p(n)=p(417) を満たす自然数nの値は n=416,417 です。


☆ p(n)={1+4/f(n)}/3 とすれば、

 f(3k-1)=f(3k)=9k2-9k+2 ,f(3k+1)=9k2-1 ,

 f(3k+2)=f(3(k+1)-1)=9(k+1)2-9(k+1)+2=9k2+9k+2 だから、

 f(n) は広義単調増加で、等しくなるのは、f(3k-1)=f(3k) だけです。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
白いお花、いつもきれいに撮れてますね(o^-^o)
ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
白の山吹の花
清楚な感じでとても好きな花です
ポチ ☆

こっこちゃん  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはようございます

聡明な 白のヤマブキ素敵ですね”

無白 は 好きな色です ポチ

uch*n*an  
No title

これは,それほど難しくはないものの少し面倒,しかしある意味単純,という問題でした。
大学入試にいいかどうかは微妙ですが,出題されても面白いかも知れません。
私の解法は,若干議論の仕方が違いますが,大筋同じでした。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
法3での場合分けの計算は無意識に避けてたのか...気づかず...で...解けず...一般に mod 3 以外でも言えるのでしょうか?
自分で計算してみればいいのでしょうが...mod 2 では...
わたしの計算では...p(2k-1)=p(2k) は成り立たないようです...^^;...Orz...
早く帰ってたばこが錐体...もとへ...衰退...もとへ...吸いたい ^^v

tsuyoshik1942  
No title

前題の余韻あらたか、3つのグループに区分けすることに気づき、解答とほぼ同じ道筋を通り、f(k)=f(k-1)までたどり着きました。「こんな難問よく解けたものだ!」と自己自讃していました。ただ最後の締めに失敗しました、答として「416」のみを送信しました。

ひとりしずか  
No title

ヤマブキに白があるんですね~
葉の緑が花の色いっそう引き立ちますね!ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シロヤマブキはあまり見る機会がありませんが、
その控えめな色が素敵です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、白い花弁が清楚です。
あまり整理できていませんが、私のPCには入っている花は沢山あると思います。
問題は、過去に出題した問題を整理しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い花の写真をこの頃よく使っています。なぜか目につくのです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白の山吹はあまり出会うことがないのですが、出会った時は嬉しいものです。
黄色の山吹が目立つだけに、仰る通り、清楚な感じがします。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女には「聡明」に見えるのですね。その感覚、真似できないです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
n→∞ の極限が 1/3 になることは容易に推測できますが、
それを確かめていて、この問題が出来ました。
極限を求める入試問題でもいいかなぁと思います。
どの程度の受験生がきちんと場合分けして求められるでしょうね?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
2の倍数になる確率は簡単ですので、考えもしませんでした。
かろいって、4の倍数面倒です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
この場合分けの一手でしょう。
私は最初、n≠217 という条件をつけていたのですが、
その必要もないと思い、その部分を削除しました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
シロヤマブキは黄色のヤマブキとは種類が違うようですが、花の形はよく似ています。
菜の花と大根のようなものですね。

黒翼  
No title

この問題はシンプルながら面白いなぁと思いました.

最初に見たときには,場合分けして比較すればいいだけだからすぐに解けるなぁと思っていましたが,意外と手こずりました.

勉強になりました.ポチ☆

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
場合分けさえ分かれば、後は丁寧に計算するだけ。
難しくないのですが、注意力は必要です。

ニリンソウ  
No title

白ヤマブキ一輪だけ見ると「バラ」勘違いするほど!
薔薇科 ですものね。
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
あまり咲いていませんでしたので1輪だけアップにしました。
薔薇にも似ていますね。