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[答422] 十面体の体積

ヤドカリ

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[答422] 十面体の体積


 1辺が 1 の正方形2個と、合同な二等辺三角形8個でできる図のような十面体について、

 2個の正方形の距離が 6 であれば、この十面体の体積は?


[解答1]

 中図のように、高さが 6 の三角錐8個を付けて、正八角柱を作ります。

 半径が r の円に内接する正八角形と正方形の面積比は、

 8・(1/2)r2・sin45゚:2r2=√2:1 だから、

 この正八角柱の底面積は √2 、高さが 6 、体積は 6√2 です。

 また、三角錐1個の底面の三角形の面積は、(√2-1)/4 だから、

 三角錐8個分の体積は、8・(1/3){(√2-1)/4}・6=4√2-4 になります。

 よって、求める十面体の体積は 6√2-(4√2-4)=4+2√2 です。


[解答2]

 右図のように、底面が直角二等辺三角形で高さが 6 の三角錐4個を付けて、四角錐台を作ります。

 上底面の面積が 1,下底面の面積が 2 だから、

 四角錐台の体積は (1/3)(1+2+√2)・6=6+2√2 です。

 また、三角錐1個の底面の三角形の面積は、1/4 だから、

 三角錐4個分の体積は、4・(1/3)(1/4)・6=2 になります。

 よって、求める十面体の体積は 6+2√2-2=4+2√2 です。


[参考]

 片方の正方形からの距離が t である平面で切断してできる八角形の面積は

 1+(√2-1)t/3+(1-√2)t2/18 になり、

 t=0 から t=6 まで積分しても、十面体の体積 4+2√2 を得られます。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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朴の木の白い花、蕊が見慣れない変わってます~
葉に見覚えがあって~
香りが良いようですが?
ポチ☆

古い人  
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朴の花ですか田舎の山で見た事有りますが分りませんでした。

もっと大きな花の記憶でした。
ポチ。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解答1はひねり出したのですが...その後もスマートじゃなかったなぁ ^^;...解答2は思いつかなかった...
フォルムは曲線になって複雑そうな直方体を45°捻っただけの体積は簡単に出せるってのにねぇ...^^...♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗ですね~♪
今度、じっくり覗いてみよう・・・そんな気になりました(o^-^o)
ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っ白で蘂の周りが赤い花”
大山レンゲに似ていますが何の花なのでしょう?
丸っこい花の形がとても可愛いですね ポチ

こっこちゃん  
No title

おはようございます。

↑の 方のコメントと同じです。 ポチ

uch*n*an  
No title

これは,答えに √ が入るので算数にはなりませんが,算数っぽく考えられる問題でした。
私の解法は四つ。
(解法1)は,計算の仕方が少し違いますが,実質[解答1]と同じ。
(解法2)は,内側の芯の正八角柱に回りを追加する解法。
(解法3)は,一辺 √2 の正方形を上面と下面にもち高さが 6 の直方体から切り出す解法。
(解法4)は,8等分して考える解法ですが,実質[解答1]と同じ。
[解答2]も思い付いてはいたものの,錐台の体積の公式は覚えていなかったので,
面倒そうな気がして深入りはしませんでした。しかし,それでも,
2 * (6/(√2 - 1) + 6) * 1/3 - 1 * 6/(√2 - 1) * 1/3 - (2 - 1) * 6 * 1/3
= (4√2 + 8) - (2√2 + 2) - 2 = 4 + 2√2
と,簡単でしたね。
なお,[参考]の積分は最強かつ最終手段ですが,
若干面倒ですし,この程度で使うのはもったいないかなぁ (^^;

いっちゃん  
No title

こんにちは^^
カップ型の開きがすごく可愛いです。。
オオヤマレンゲっていうのですか?ポチ

tsuyoshik1942  
No title

足したり、引いたりして算出する方法があるはずと、思いながらもその手法に気づけず、最初の解答は積分で求めました。積分そのものが修練中のこともあり、これで答が得られた時はうれしかったです。
その後、再挑戦し「解答1」と「解答2」に気づきました。もっとも「解2」は四角錐として考えました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はオオヤマレンゲです。
蕊が印象的でした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はオオヤマレンゲです。
開ききっていないのを撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
立体は思いつきにくいですね。
網膜という球面上に移されているのですから。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
覗き込みたいような撮り方になってしまったようですね。
もっと開いたのも咲いていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
オオヤマレンゲ、よくご存知ですね。
開ききっていないので、まぁ~るく咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。

↑の 方へのリコメと同じです。パクリ(笑)

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
角錐台の体積は割に簡単に求められますので、
私も以前は覚えていなかったのですが、
ブログをするようになって、覚えました。

> 積分は最強かつ最終手段ですが,……もったいないかなぁ
私も大袈裟かなぁと思って[参考]にしました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
オオヤマレンゲ、面白い花でしょ。
花弁をレンゲに形に例えたものではないと思いますが……。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
まずは積分を考えるのが、確実に解く方法ですね。
その後いろいろと工夫するのも面白いです。

いっちゃん  
No title

はなびらをれんげに?

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。

散蓮華(ちりれんげ)は陶製スプーンの日本での呼び名。
蓮の花(蓮華)から散った一枚の花びらに見立ててこの名がある。
単に「れんげ」と呼ばれることもある。

だそうで、蓮華はオオヤマレンゲでなく、ハスの花弁1枚と形が似ているからでした。