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[答423] 正八面体と正四角錐

ヤドカリ

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[答423] 正八面体と正四角錐


 1辺が 2 の正八面体 P-QRST-U の辺 QU,RU,SU,TU の辺上に 点 A,B,C,D をとり、

 正四角錐 P-ABCD をつくるとき、正四角錐の体積の最大値は?


[解答1]

 P,Q,U,S を通る平面で切断しすれば、正四角錐は2つの三角錐に二等分されます。

 その三角錐の底面を △PAC とし、辺ACの中点をMとすれば、△PAC=PM・MC 、

 √(PM・MC)≦(PM+MC)/2=(PM+MU)/2=PU/2 だから、 PM=MC のときに △PAC は最大になります。

 このとき、AとQ,CとS が一致し、BとR,DとT も一致するから、高さも最大になります。

 従って、体積が最大になるとき、底面が1辺が 2 の正方形で 高さが √2 の正四角錐になります。

 従って、その体積は (1/3)・2・2・√2=(4√2)/3 です。


[解答2]

 正四角錐の底面の1辺を x (0<x≦2)とすれば、底面積は x2,高さは 2√2-x/√2 だから、

 体積を V(x) とすれば、V(x)=x2(2√2-x/√2)/3=x2(4-x)/(3√2)=(4x2-x3)/(3√2) です。

 V'(x)=(8x-3x2)/(3√2)=x(8-3x)/(3√2) だから、0<x≦2 のとき、V'(x)>0 、

 よって、最大値は V(2)=22(4-2)/(3√2)=(4√2)/3 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

おはようございます。。o@(^-^)@o。ニコッ♪
憧れのスズランが沢山咲いていましたね
朝から心地よく頑張れそうです
南国で育たないのが残念です。ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
Aha!!...対角線を高さと底面の両方に見立てる解答1は...スマートね♪
気づけなかったのが残念です ^^;...
直感的に平面TQRSでの切り口が正方形でそれが小さくなった分と増えた分が等しいときを最初考えたんだけど...ややこしそうだから止めましたが...どうだったんだろなぁ...Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
可愛いですね~♪ スズラン♪ ラン♪ラン♪ ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
スズランの花が綺麗に咲いていますね
大好きな花ですがこちらではなかなか上手く育てられない花です
ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
この花見ながら心の中で「スズラン、スズラン、ランランラン」って言いながら、コメント書こうとしたら・・
アキチャンさんと同じだった♪
うれしくなりました。毒があっても可愛いから大好き☆
ポチ

ニリンソウ  
No title

スズランの季節でもありますね
なんてかわいいんでしょう。 ポチ

uch*n*an  
No title

これは,最大値が正八面体の半分で,いわば端っこにあるという意味で,
ちょっと変わった問題でした。
私の解法は,解法に番号を付けませんでしたが,二つで,
一つ目が[解答2],二つ目が[解答1]でした。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

うわ~~~
スズランがいっぱいだわ~~
爽やかさと清楚さがあって好きなお花です。
我が庭のスズランはようやく芽を出してきました。
ポチッ☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」には思い至りませんでした。
答が端になってしまい、最初???とおもいましたが、やどかりさんの「出題の枕詞」から自信が持てました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は群生地を見たことがありません。
一度、見てみたいものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
「びっしりと群生し咲いていたのが懐かしいです」は悲しいコメントです。
自然から授かったものは大切にしたいものですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
スズランが育たないかわりに色鮮やかな花がいち早く咲く土地柄、
貴女のブログには私には羨ましい記事が多いのですが、ないものに憧れますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
私は[解答2]のために、切り口の図を描いて分かりました。
丁寧に解答作りをしたご褒美でしょうか。
uch*n*anさんの解答にも[解答1]の方法がありました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「スズラン♪ ラン♪ラン♪」は知りませんでしたが、
他のラン(たとえばシラン)ではさまにならないのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この写真のスズランは空き地で育てられていたものです。
滅多に見ることがありませんが、こちらでは何とか育てられるようです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「スズラン、スズラン、ランランラン」って同じ発想ですか。
ところで、貴女も「毒があっても可愛い」のでしょうか?
訊いちゃいけないことですね。笑

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
可愛くてポピュラーな花ですね。
でも、こちらでは自生しないのか、自然に咲いているのを見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この手の問題で、微分したとき、定義域に極値がないのでのは珍しいと思います。
ただ、見方によっては明白でつまらない問題ですが、出題する気になりました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
スズランは、そちらが本場です。
芽がでてきた由、これからが楽しみですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
こんな特殊な答になるのですから、きっと何かあるはずと思えば、
[解答1]に思いいたります。
いろいろ考えると面白いです。