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[答424] 三角形の面積の最大値

ヤドカリ

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[答424] 三角形の面積の最大値


 AB=2,∠B=90゚,∠C=22.5゚ の△ABC があり、∠APB=∠QPC になるように、辺BC上に点P,

 辺CA上に点Qをとるとき、△APQ の面積の最大値は?


[解答]

 まず、辺BC上に点Dを、AB=BD=2 となるようにとれば、∠DAC=∠C=22.5゚ だから、

 DC=DA=2√2 となり、△ABC=AB・BC/2=2・(2+2√2)/2=2+2√2 です。

 次に、辺BCに関して Aと対称な点をE,Qと対称な点をR とすれば、A,P,R は一直線上にあり、

 メネラウスの定理により、(EA/AB)(BP/PC)(CR/RE)=1 だから、

 BP:PC=(1-x):x,CR:RE=(1-y):y とすれば、

 2{(1-x)/x}{(1-y)/y}=1 、2(1-x)(1-y)=xy 、xy+2=2(x+y) になります。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、x+y≧2√(xy) だから、

 xy+2≧4√(xy) 、4-4√(xy)+xy≧2 、{2-√(xy)}2≧2 、

 0<xy<1 だから、2-√(xy)≧√2 、√(xy)≦2-√2 、xy≦(2-√2)2 です。

 なお、等号が成り立つのは、x=y のときだから、

 xy+2=2(x+y) より、x2+2=4x 、0<x<1 だから x=y=2-√2 のときです。

 よって、

 △APQ=△APC-△CPR=x△ABC-x(1-y)△ABC=xy△ABC≦(2+2√2)(2-√2)2=4√2-4 、

 △APQの最大値は、4√2-4 です。

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Comments 20

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さっちゃんこ  
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おはようございます
「ナニワイバラ」華やかなバラの中では落ち着いてバラですが
垣根などに沢山咲いている姿は遠くからでも目を引きますね

挿木が容易ですぐ増やせるのもいいですね ポチ

tsuyoshik1942  
No title

「相加・相乗平均の関係」本質をつかめていないため、うまく使いこなせません。本題も解答を拝見し、ようやく!?!?!!
自分は、上記の図におけるBCとQRの交点をSとし、SCをxと置き、式を立て、分数式を微分し答を求めました。他の手法があるとのコメントを見ながら、それが分からず不満はありましたが、「解いた」との感覚を味わえたので良しとしました。

uch*n*an  
No title

これは,大学入試にもよさそうな問題でした。
私の解法は,相加相乗平均を使うのは同じですが,若干途中が違います。
まぁ,こういった差異はいろいろあるとは思いますが,ご参考までに書いておきましょう。
なお,初等幾何だけでできないか,しばし考えたのですが,思い付きませんでした。

uch*n*an  
No title

A から BC に平行に,C から AB に平行に線を引き交点を D,
PQ の延長と AD の交点を R,P から AD に垂線を下ろしその足を H,とします。
□ABCD は長方形,△PAR は PA = PR の二等辺三角形,AH = RH です。
AB = c,BC = a,BP = x とすると,AH = x,AR = 2x,で,
△QCP ∽ △QAR,PQ:RQ = CP:AR = (a - x):(2x),△PAR = 2x * c * 1/2 = cx,
△APQ = △PAR * PQ/PR = cx(a - x)/(a + x) = c(3a - ((a + x) + 2a^2/(a + x)))
a + x > 0 なので,相加相乗平均を使って,
<= c(3a - 2√((a + x) * 2a^2/(a + x))) = (3 - 2√2)ac = (√2 - 1)^2 * ac
等号は,a + x = 2a^2/(a + x),0 < x = (√2 - 1)a < a,で成立します。

uch*n*an  
No title

この問題では,c = 2,a = c/tan(22.5°) = 2/(√2 - 1) なので,
△APQ の面積の最大値 = (√2 - 1)^2 * ac = (√2 - 1)^2 * 2/(√2 - 1) * 2 = 4√2 - 4
になります。

いっちゃん  
No title

こんにちは。。
私もすきな花です^^
清楚な白。。夏のワンピースに胸元にブローチとして
付けたらすてきでしょうね^^ポチ

ひとりしずか  
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バラって感じがしないナニワイバラ
葉のツヤツヤグリーンに白花弁が冴えてます~ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ナニワイバラは本格的な薔薇の季節に先んじて真っ白に咲くのがいいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ナニワイバラは一重だけにスッキリとして好きです。
もちろん、多重の薔薇もいいと思いますが、違った良さです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い花は日に当たると輝きます。それがいい所ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
私は特殊化は最終手段と思い、なるべく使わないようにしています。
メネラウスを使えば、特殊化してもしなくても比に変わりはありません。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花弁が一重であることとシンプルな白だから、落ち着いて見えるのでしょうね。
そして沢山咲きますので目立ちます。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
図形の問題は、分数式が現れても、正の数を扱いますので、
相加・相乗平均を使えることが多いです。
微分で計算して答がでたら、相加・相乗平均を使えないかなぁと考えるのも一興です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
大学入試問題にするなら、多分、2~3の小問に分けての出題かと思います。
まず、△ABCの面積がウォーミングアップといったところでしょうか。
あとは貴殿の解法のようにするか、私の[解答]のようにするか誘導したら、
採点がしやすそうです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
去年だったか一昨年だったか定かではありませんが、
ナニワイバラ、以前もアップして貴女からコメントを頂いたように記憶しています。
貴女の好きな白い花ですね。ワンピースは何色?
まさか、今、流行りのアニメではありませんよね。笑

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
光が当たって、花も葉もツヤツヤしていました。
白い花が緑に囲まれた光景は素敵です。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
ナリワイバラ 沢山 花が咲いてると
嬉しくなります。
真っ白が いいですね。 ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
ナニワイバラは白い花が沢山咲くのが素敵です。
私もそう思います。

uch*n*an  
No title

全くの偶然とは思いますが,今年,2012年,の東大文系の数学の第2問が,
この問題とよく似ている,ほとんど同じ,ようです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、情報を有難う御座います。
調べてみたら、東大の方は全体の三角形が直角二等辺三角形ですね。
角度が等しいというのは反射をイメージしたもので、
同じような事を考えたのかもしれません。