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[答425] 四角形の一部の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答425] 四角形の一部の面積


 図のように、円に内接する、面積が 29/77 の四角形ABCDがあって、AB:BC:CD:DA=11:12:7:6 です。

 対角線の交点をPとして、△PBCの面積は?


[解答1]

 AP:PC=△ABD:△CBD=AB・AD:CB・CD=11・6:12・7=11:14 、よって、PC/AC=14/25 、

 DP:PB=△DAC:△BAC=DA・DC:BA・BC=6・7:11・12=7:22 、よって、PB/DB=22/29 、

 △PBC=(14/25)(22/29)・四角形ABCD=(14/25)(22/29)(29/77)=4/25 です。


[解答2]

 △PAB∽△PDC より PA:11=PD:7,PB:11=PC:7 、PA:11・6=PD:7・6,PB:11・12=PC:7・12 、

 △PBC∽△PAD より PB:12=PA:6,PC:12=PD:6 、PB:12・11=PA:6・11,PC:12・7=PD:6・7 、

 よって、PA:11・6=PB:12・11=PC:7・12=PD:7・6 となります。

 △PAB:△PBC:△PCD:△PCA=PA・PB:PB・PC:PC・PD:PD・PA

  =112・6・12:122・11・7:72・12・6:62・7・11=242:308:98:77 、

 よって、 △PBC=(29/77)・308/(242+308+98+77)=4/25 となります。


☆ △PAB:△PBC:△PCD:△PCA=AB2・DA・BC:BC2・AB・CD:CD2・BC・DA:DA2・CD・AB

  =AB/CD:BC/DA:CD/AB:DA/BC になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

おはようございます
薄紫の 可愛い花ですね

こちらは 昨日に続き 雨です。 ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
薄紫の綺麗な花ですね 何の花なのでしょうか

金環日食 いかがでしたか
こちらはあいにくの雨で見れませんでしたが8:02につかの間の事でしたが雲の合間に部分日食を味わいました ポチ

uch*n*an  
No title

最初見たときは,三角関数やらプラーマグプタの公式やらを使う面倒な問題かな,
と思ったのですが,円に内接する四角形の性質を使っているので算数ではないですが,
ほとんど算数で解ける問題でした。というわけで,私の解法は[解答1]でした。
あっさり解けたので,それ以上は考えませんでした。[解答2]は「なるほど」とはいえ,
多分,何か意図があるのでしょうが,ちょっと分かりにくい記述のような。
単に書き方の問題ですが,私ならばこうするかなぁ。

uch*n*an  
No title

[解答2]の記述のバリエーション
△PAB∽△PDC より PA:PD=PB:PC=11:7,PD=(7/11)PA,PC=(7/11)PB,
△PBC∽△PAD より PB:PA=12:6,PB=2PA,
よって,PB=2PA,PC=(14/11)PA,PD=(7/11)PA,となります。
△PAB:△PBC:△PCD:△PCA=PA・PB:PB・PC:PC・PD:PD・PA
=1・2:2・(14/11):(14/11)・(7/11):(7/11)・1=242:308:98:77 、
よって,△PBC=(29/77)・308/(242+308+98+77)=4/25 となります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
対角線の比をえんやこらさっさと計算してました...^^;
対角線の比=△の面積比...たしかに...そうでした♪
また一つここにも盲点発見できました ^^...Orz...

ニリンソウ  
No title

桐の花なんですか?
綺麗なものですね~あ・・咲いてる程度にしか!
近くでみたのは初めて
ポチ

アキチャン  
No title

こんにちは!
きれいなお花ですね(o^-^o)
ポチ♪

いっちゃん  
No title

きりの花って見たことなかったから。。
こんな花なんですね。。
桐の紋の絵柄ってはなびらなのかな?ポチ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
桐の花、高い所に咲いていましたので、日差しを浴びたようになりました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
桐の花です。高い所に咲いていても目を見張る美しさでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
金環食こちらも綺麗に見えましたので、記事にしました。
問題に関しては言われてみれば「なんだ」というものでしたね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
薄紫色の花に目を奪われました。
高い所で咲いていたので、撮り辛かったです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
桐の花です。過去にも見たことがあるのですが、名前は最近知りました。
金環食についてのコメントも有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]はスッキリした形で書きませんでした。
△PAB:△PBC:△PCD:△PCA=AB²・DA・BC:BC²・AB・CD:CD²・BC・DA:DA²・CD・AB
になることを示すために、最後まで計算しませんでした。
△PAB:△PBC:△PCD:△PCA=AB/CD:BC/DA:CD/AB:DA/BC
と書けばスッキリしますが。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
1つでも Aha! があれば、出題者として満足です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
桐の花です。葛城山からの下山途中に1本だけ咲いていました。
見られてラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
薄紫の花は上品で綺麗です。ひときわ目を引きました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
桐の花、こちらではあまり見られません。
桐の箱た箪笥を知っていても花はあまり知られていませんね。
桐の紋については不勉強で御免なさい。

uch*n*an  
No title

なるほど。一応,納得です (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
本文にも少し加筆しました。