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[答426] 正八面体と立方体

ヤドカリ

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[答426] 正八面体と立方体


 正八面体 P-QRST-U の辺 PQ,PR,PS,PT,QU,RU,SU,TU の辺上に 点 A,B,C,D,E,F,G,H をとり、

 立方体 ABCD-EFGH をつくるとき、正八面体の体積を 1 とすると、この立方体の体積は?


[解答]

 正八面体の1辺を a とすれば、正四角錐 P-QRST の底面積は a2,高さは a/√2 だから、

 正八面体の体積は、2・a2(a/√2)/3=a3(√2)/3 です。

 立方体の1辺を b とすれば、その体積は b3 です。

 また、平面PQUSでの切断面を考えると、AE=b より AQ=b/√2 、AC=b√2 より AP=b で、

 b/√2+b=a 、b(1+√2)=a√2 、b/a=(√2)/(√2+1)=(√2)(√2-1) です。

 従って、立方体の体積は、

 b3=b3/{a3(√2)/3}=(3/√2)(b/a)3=(3/√2)(√2)3(√2-1)3=6(5√2-7)=0.42640…… です。

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Comments 20

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ひとりしずか  
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白くひろがる花弁の中央のツブツブの塊がかわいい!ポチ☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
奇麗な数字にはならないもので意外...^^
面心立方体の体積の方がもっと小さくなりそうね...
体積はまた考えてみようっと♪
今日も暑そ ^^v

アキチャン  
No title

おはようございます。
ヒラヒラした花びらはハナミズキにそっくりですね(o^-^o)
今、あちこちでみますね♪ ポチ♪

tsuyoshik1942  
No title

解答と同じ解法でした。
あとで、八面体を内包する立方体との比較法等も試みましたが、結局、断面pqusの分析が基本でした。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ヤマボウシ 綺麗に咲いていますね
私も昨日アップしました ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます。この花も可愛い。
とても白ずきんを被った山法師には見えません。笑
ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

やまほうしですね。
私のところではないですが、ブログを知ってからみなさんに
見せてもらって知ることができました。
大きい木なんだそうですね。
ポチッ☆

uch*n*an  
No title

これは,□ABCD が □QRST に平行であることに気付けば簡単でしょう。
また,平行になるのは,直感的にはほとんど明らかでしょう。
私の解法も,若干計算の詳細は違いますが,考え方は同じでした。

こっこちゃん  
No title

こんにちは
いつも訪問が遅くなりましてすみません
私はヤマボウシはあまり見たことはありません
町に住んでいるからでしょうか o(*^▽^*)oエヘヘ!
かわいい花ですね ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
百合も見かけるようになりました。
言われてみると、そうですね。
いろんな花が咲いている時期、結びつきませんでした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
日本産ハナミズキですか。仰るとおりですね。
このごろよく見かけます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
以前から貴女のコメントには蕊の事がよく書かれていますね。
ヤマボウシの中心の塊、面白いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
きれいな数値にならないです。こういうのは計算してみないと分かりませんね。
直感でそれを区別する能力は私にはありません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ヤマボウシ、これも季節の花で、このごろよく見かけます。
去年の暮、1輪だけ咲いていたのを見ましたよ。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントと有難う御座います。
このような切断をすれば、正八面体の切断面が正方形ですので考えやすいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日、貴女のアップされたヤマボウシの写真を見て、撮り方の違いを感じました。
私は花を中心に撮ったのですが、樹全体を撮る発想はありませんでした。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も山法師には見えませんが、一部が似ているのでしょう。
そんな植物名は他にも思いつきます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
樹自体は大きいのも小さいのもあります。
庭の植木として植えてある家も見ました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
数値を使うか文字を使うかで、若干の違いがありますが、
みなさん同じような解き方でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
今日は集中力がなく、コメントがなかなか進みませんでした。
私はときどきヤマボウシを見ますよ。
私も町に住んでいるのですが……o(*^▽^*)oエヘヘ!