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[答427] 三角形の面積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答427] 三角形の面積の最大値


 xy平面上に O(0,0) と 曲線 y=±x(x-1) (0≦x≦1) があります。

 この曲線上に2点A,Bをとって、△OABを作るとき、△OABの面積の最大値は?


[解答1] tsuyoshik1942さんのコメントより

 A を y=x(x-1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(a,a(a-1)) とします。

 このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、

 B を y=-x(x-1) (0≦x≦1) 上で、B(b,-b(b-1)) とします。

 △OAB={-ab(b-1)-ab(a-1)}=ab(2-a-b)/2 になります。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、

 3√{ab(2-a-b)}≦(a+b+2-a-b)/3 、ab(2-a-b)≦8/27 だから、△OAB≦4/27 になります。

 従って、△OAB が最大になるのは a=b=2/3 のときで、△OAB=4/27 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 A(a,a(a-1)),B(b,-b(b-1)) とすれば[解答1]のように、△OAB=ab(2-a-b)/2 になります。

 u=a+b,v=ab とおくと,u2-4v≧0,0≦u≦2,0≦v≦u2/4≦1,で,

 △OAB=v(2-u)/2=k とおくと,k が最大になるのは,(u,v)-座標平面上において,

 0≦u≦2 で v=u2/4 と v(2-u)/2=k が接するときなので,

 (u2/4)(2-u)/2=k が 0≦u≦2 で重解を一つだけもつ場合です。

 これは,h(u)=u2(2-u)/8 とおくと,h'(u)=-u(3u-4)/8 よりグラフを調べると,

 u=4/3 で h(u) は極大かつ最大で h(4/3)=4/27 となるので,k=4/27 のときです。

 そこで,△OAB の最大値は,a=b=2/3 のとき 4/27 になります。  


[解答3]

 A を y=x(x-1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(t,t(t-1)) とします。

 このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、

 B を y=-x(x-1) (0≦x≦1) 上で、Bでの接線の傾きが OAの傾き t-1 と等しいときです。

 y=-x(x-1)=-x2+x を微分して y'=-2x+1 だから、

 -2x+1=t-1 とおけば、x=-t/2+1 、B(-t/2+1,-t2/4+t/2) です。

 △OAB={t(-t2/4+t/2)-t(t-1)(-t/2+1)}/2=t{(-t2+2t)+2(t-1)(t-2)}/8

  =t(4-4t+t2)/8=2t(2-t)2/16 、

 ここで、相加・相乗平均の関係により、

 3√{2t(2-t)2}≦{2t+(2-t)+(2-t)}/3=4/3 だから、2t(2-t)2≦64/27 、

 よって、△OAB≦(64/27)/16=4/27 になります。

 等号が成り立つのは、2t=(2-t) 、t=2/3 のときで、A(2/3,-2/9),B(2/3,2/9) のときです。

 従って、△OAB の面積の最大値は 4/27 です。

.

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Comments 20

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ひとりしずか  
No title

ピラカンサスのようですね~
コデマリと見分けつかないかも・・
でもこちらにはないかな?
ポチ☆

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答1]の相加相乗平均の使い方はいいですね。
私の解法にも相加相乗平均と等価な式変形をしたものがありますが,この方が簡明です。
ただ,
>このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、
の行は要らないのでは?
私の解法は三つ。
(解法1)は,二次関数と三次関数で解く解法。見た目は違いますが[解答3]と等価になるようです。
三次関数の評価は,[解答3]のように相加相乗平均を使ってもよかったですね。
比較も兼ねて,ご参考までに書いておきましょう。
(解法2)は,a,b に対する相加相乗平均と等価な変形で
△OAB = ab(2 - (a + b))/2 = ab(- (√a - √b)^2 + 2(1 - √a√b))/2 <= ab(1 - √(ab))
とし,t = √ab とおいて一番右の三次関数を評価する解法です。
(解法3)は,[解答2]でした。△OAB が a,b の対称式になっていることを利用した解法です。

uch*n*an  
No title

(解法1)
A(a,a(a-1)),B(b,b(1-b)),0 <= a, b <= 1,とし,AB と x 軸との交点を C とします。
a ≠ b の場合,AB は y - a(a-1) = (b(1-b) + a(1-a))/(b-a) * (x - a),
C(ab(2 - a - b)/(b(1-b) + a(1-a)),0),です。
a = b の場合,AB は x = a,C(a,0),ですが,この C は a ≠ b の場合に含まれます。

uch*n*an  
No title

そこで,
△OAB = ab(2 - a - b)/(b(1-b) + a(1-a)) * (b(1-b) + a(1-a)) * 1/2
= ab(2 - a - b)/2 = (- ab^2 + a(2 - a)b)/2 = - a(b - (2 - a)/2)^2/2 + a(2 - a)^2/8
<= a(2 - a)^2/8,等号は b = (2 - a)/2
ここで,f(a) = a(2 - a)^2/8 とおくと,f'(a) = (3a^2 - 8a + 4)/8 = (3a - 2)(a - 2)/8 で,
0 <= a <= 1 では,f(a) は a = 2/3 で極大かつ最大で f(2/3) = 4/27 となるので,
△OAB の最大値は,a = 2/3,b = (2 - a)/2 = 2/3 のとき 4/27 になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
△OABが最大とすると...対称な図なので...
底辺OAからの高さが最大のとき=底辺OBからの高さが最大のときのはずで...OA=OB のときになるはず=A,B はx軸に対して対称のときと言えないですかねぇ...?
だったら...AB垂直x軸なので、そのx=t とすれば...
△OAx=f(x)=x*(-x(x-1)) =-x^3+x^2
f'(x)=-3x^2+2x=x(-3x+2)=0 から...最大値=f(2/3) のときとすぐわかるんだけど...^^;...?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ピラカンサです。花は真っ白ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
紅い見か橙色の実かは知りませんが、花よりよく目立ちますよね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
解答に引用させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も若い時に花の事をもっと勉強すればよかったと思います。
ただ、以前はあまり興味がなかったので覚えられたかどうか……。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ピラカンサは実ができたらよく目立ちますね。
白い花も、花もあることを主張しているようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ピラカンサが密集して咲いていて葉まで写りませんでした。
花もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
樹全体を見るとコデマリとは明らかに違うのですが、写真では分かりにくいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
>このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、
というのは、Aを第4象限にとれば、Bは第1象限にとるということを断ったものです。
両方を同じ象限にとれば明らかに最大にはなりませんが、一応断るべきかと思いました。
[解答3]は最初から変数を1つにしたもので、
微分すればいいのですが、相加・相乗平均の関係で間に合わせました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
x軸に関して、非対称な三角形の面積が最大になると、
x軸に関してそれと対称なものも最大になりますが、
本問の場合その可能性がないことを示す表現は難しいです。
だから、x軸に関して対称であることを前提としていません。

ftt*m*28  
No title

微分の解法です。

Aをy=-x*(x-1)上の点A(a,-a*(a-1))として
OBを底辺として△OBCの面積の最大値を考えると
高さが最大になるのは点Aでの微分係数と直線OBの傾きが同じときで
直線OBと赤い曲線y=x*(x-1)との交点をBとして
それを三平方の定理で長さをまた高さを
点Aから直線OBとの距離の公式で求めてその2つを掛けて
距離の公式での絶対値を外すのに2乗して全体をルート
にいれその増減から面積の最大値をxmaximaで求めると

ftt*m*28  
No title

diff(-a*(a-1),a)$
e1:y=%*x$
e2:y=x*(x-1)$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor((%th(2)^2+%^2)*(a*(1-2*a)+a*(a-1))^2/(((1-2*a)^2+1)))$
diff(%,a)$
solve(%,a)$
rhs(part(%,1))$
((2-2*%)^2+(4*%^2-6*%+2)^2)*(%*(1-2*%)+%*(%-1))^2/((1-2*%)^2+1)$
%/4$
sqrt(%);4/27・・・・・・(答え)

ヤドカリ  
No title

ftt*m*28さん、コメントを有難う御座います。
考え方は[解答3]と似ていると解してよいのでしょうか。
[解答3]では相加・相乗平均で微分を回避していますが。

ftt*m*28  
No title

>考え方は[解答3]と似ていると解してよいのでしょうか。

upされた解法を読んだのですが似ている解法と思います。
あと自分の解法の冒頭で

>Aをy=-x*(x-1)上の
・・・

でいきなりy=-x*(x-1)でなくy=x*(x-1)であるため計算が間違ってるので
すがやり方自体はかわらないのでxmaximaのソースコード部分だけ今から修正したいと思います。

ftt*m*28  
No title

直りました。

diff(a*(a-1),a)$
e1:y=%*x$
e2:y=-x*(x-1)$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor((%th(2)^2+%^2)*(a*(2*a-1)-a*(a-1))^2/((2*a-1)^2+1))$
diff(%,a)$
solve(%,a)$
rhs(part(%,1))$
((2-2*%)^2+(-4*%^2+6*%-2)^2)*(%*(2*%-1)-%*(%-1))^2/((2*%-1)^2+1)$
%/4$
sqrt(%);4/27・・・・・・(答え)

ヤドカリ  
No title

ftt*m*28さん、コメントを有難う御座います。
私は、xmaximaというものを見たことも使ったこともありませんので、
ソースコードが猫に小判です。
だいたい何を計算しているかだけ分かります。