[答427] 三角形の面積の最大値
[答427] 三角形の面積の最大値
xy平面上に O(0,0) と 曲線 y=±x(x-1) (0≦x≦1) があります。
この曲線上に2点A,Bをとって、△OABを作るとき、△OABの面積の最大値は?
[解答1] tsuyoshik1942さんのコメントより
A を y=x(x-1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(a,a(a-1)) とします。
このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、
B を y=-x(x-1) (0≦x≦1) 上で、B(b,-b(b-1)) とします。
△OAB={-ab(b-1)-ab(a-1)}=ab(2-a-b)/2 になります。
ここで、相加・相乗平均の関係により、
3√{ab(2-a-b)}≦(a+b+2-a-b)/3 、ab(2-a-b)≦8/27 だから、△OAB≦4/27 になります。
従って、△OAB が最大になるのは a=b=2/3 のときで、△OAB=4/27 です。
[解答2] uch*n*anさんのコメントより
A(a,a(a-1)),B(b,-b(b-1)) とすれば[解答1]のように、△OAB=ab(2-a-b)/2 になります。
u=a+b,v=ab とおくと,u2-4v≧0,0≦u≦2,0≦v≦u2/4≦1,で,
△OAB=v(2-u)/2=k とおくと,k が最大になるのは,(u,v)-座標平面上において,
0≦u≦2 で v=u2/4 と v(2-u)/2=k が接するときなので,
(u2/4)(2-u)/2=k が 0≦u≦2 で重解を一つだけもつ場合です。
これは,h(u)=u2(2-u)/8 とおくと,h'(u)=-u(3u-4)/8 よりグラフを調べると,
u=4/3 で h(u) は極大かつ最大で h(4/3)=4/27 となるので,k=4/27 のときです。
そこで,△OAB の最大値は,a=b=2/3 のとき 4/27 になります。
[解答3]
A を y=x(x-1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(t,t(t-1)) とします。
このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、
B を y=-x(x-1) (0≦x≦1) 上で、Bでの接線の傾きが OAの傾き t-1 と等しいときです。
y=-x(x-1)=-x2+x を微分して y'=-2x+1 だから、
-2x+1=t-1 とおけば、x=-t/2+1 、B(-t/2+1,-t2/4+t/2) です。
△OAB={t(-t2/4+t/2)-t(t-1)(-t/2+1)}/2=t{(-t2+2t)+2(t-1)(t-2)}/8
=t(4-4t+t2)/8=2t(2-t)2/16 、
ここで、相加・相乗平均の関係により、
3√{2t(2-t)2}≦{2t+(2-t)+(2-t)}/3=4/3 だから、2t(2-t)2≦64/27 、
よって、△OAB≦(64/27)/16=4/27 になります。
等号が成り立つのは、2t=(2-t) 、t=2/3 のときで、A(2/3,-2/9),B(2/3,2/9) のときです。
従って、△OAB の面積の最大値は 4/27 です。
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