[答427] 三角形の面積の最大値

[答427] 三角形の面積の最大値


　xy平面上に O(0，0) と 曲線 y＝±x(x－1) (0≦x≦1) があります。

　この曲線上に２点A，Bをとって、△OABを作るとき、△OABの面積の最大値は？


[解答1] tsuyoshik1942さんのコメントより

　A を y＝x(x－1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(a，a(a－1)) とします。

　このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、

　B を y＝－x(x－1) (0≦x≦1) 上で、B(b，－b(b－1)) とします。

　△OAB＝{－ab(b－1)－ab(a－1)}＝ab(2－a－b)/2 になります。

　ここで、相加･相乗平均の関係により、

　³√{ab(2－a－b)}≦(a＋b＋2－a－b)/3 、ab(2－a－b)≦8/27 だから、△OAB≦4/27 になります。

　従って、△OAB が最大になるのは a＝b＝2/3 のときで、△OAB＝4/27 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　A(a，a(a－1))，B(b，－b(b－1)) とすれば[解答1]のように、△OAB＝ab(2－a－b)/2 になります。

　u＝a＋b，v＝ab とおくと，u²－4v≧0，0≦u≦2，0≦v≦u²/4≦1，で，

　△OAB＝v(2－u)/2＝k とおくと，k が最大になるのは，(u，v)-座標平面上において，

　0≦u≦2 で v＝u²/4 と v(2－u)/2＝k が接するときなので，

　(u²/4)(2－u)/2＝k が 0≦u≦2 で重解を一つだけもつ場合です。

　これは，h(u)＝u²(2－u)/8 とおくと，h'(u)＝－u(3u－4)/8 よりグラフを調べると，

　u＝4/3 で h(u) は極大かつ最大で h(4/3)＝4/27 となるので，k＝4/27 のときです。

　そこで，△OAB の最大値は，a＝b＝2/3 のとき 4/27 になります。 　


[解答3]

　A を y＝x(x－1) (0≦x≦1) 上にとっても一般性を失いませんので、A(t，t(t－1)) とします。

　このとき、OA を底辺と考えれば、△OABの面積が最大になるのは、高さが最大のときで、

　B を y＝－x(x－1) (0≦x≦1) 上で、Bでの接線の傾きが OAの傾き t－1 と等しいときです。

　y＝－x(x－1)＝－x²＋x を微分して y'＝－2x＋1 だから、

　－2x＋1＝t－1 とおけば、x＝－t/2＋1 、B(－t/2＋1，－t²/4＋t/2) です。

　△OAB＝{t(－t²/4＋t/2)－t(t－1)(－t/2＋1)}/2＝t{(－t²＋2t)＋2(t－1)(t－2)}/8

　 ＝t(4－4t＋t²)/8＝2t(2－t)²/16 、

　ここで、相加･相乗平均の関係により、

　³√{2t(2－t)²}≦{2t＋(2－t)＋(2－t)}/3＝4/3 だから、2t(2－t)²≦64/27 、

　よって、△OAB≦(64/27)/16＝4/27 になります。

　等号が成り立つのは、2t＝(2－t) 、t＝2/3 のときで、A(2/3，－2/9)，B(2/3，2/9) のときです。

　従って、△OAB の面積の最大値は 4/27 です。

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