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[答429] 2勝ぶん勝ち越す確率

ヤドカリ

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[答429] 2勝ぶん勝ち越す確率


 A,Bが試合をするとき、どの試合においてもAが勝つ確率は 2/7,Bが勝つ確率は 5/7 で、

 引き分けはないものとします。

 この試合を続け、勝数が相手より2つ多くなった時点で終了とし、勝者とするとき、Aが勝者となる確率は?


[解答1]

 2戦でAが勝者となるのは、2連勝の場合で確率は、(2/7)(2/7)=4/49 で、

 4戦でAが勝者となるのは、最初の2戦で1勝1敗、次の2戦で2連勝の場合で確率は、

  2(2/7)(5/7)・(2/7)(2/7)=(20/49)(4/49) で、

 6戦でAが勝者となるのは、1勝1敗を2回繰り返し、最後に2連勝の場合で確率は、

  {2(2/7)(5/7)}2・(2/7)(2/7)=(20/49)2(4/49) です。

 一般に 2n戦でAが勝者となるのは、(20/49)n-1(4/49) です。

 また、奇数回の戦いでは、初めて2勝差がつくことはありません。

 従って、Aが勝者となる確率は、初項 4/49、公比 20/49 の数列の無限和で、

 (4/49)/{1-(20/49)}=4/(49-20)=4/29 になります。


[解答2]

 Aが勝者となる確率を p とすれば、勝者になるのは、

 最初から2連勝すればOK、最初から2戦して1勝1敗の場合は勝者になる確率が p に戻りますので、

 p=(2/7)2+2(2/7)(5/7)p となって、 49p=4+20p 、p=4/29 です。


[解答3]

 「2戦して1勝1敗」である確率は 1 未満だから、これを無限に繰り返す確率は 0 です。

 これを何回繰り返した時点でも、

 最後にAが2連勝の場合の確率は (2/7)(2/7)=4/49 で、

 最後にBが2連勝の場合の確率は (5/7)(5/7)=25/49 だから、

 A,Bが勝者になる確率は、(4/49):(25/49)=4:25 です。

 従って、Aが勝者になる確率は 4/29 ,Bが勝者になる確率は 25/29 です。

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Comments 20

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スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解法2の発想はなかったけど...不思議な感覚ね♪
わたしのはいい加減だったかもしれないけど...解法3と同じかな...^^;v

ひとりしずか  
No title

ヤグルマギクこの色も良いですねー
花弁がとてもキレイです!ポチ☆

Yasuko  
No title

おはようございます(^o^)
大変ご無沙汰しておりますm(__)m
孫は、昨日、関空から飛び立ちましたぁ~6月新学期が始まりますので・・・

2~3日したらブログ再開致しますのでまた宜しくお願いしますm(__)m

ヤグルマギク✿色も種類も”いろいろあり素敵ですよねぇ(*^_^*)✿
毎日出かけていたので少し疲れましたは・・・ぼつぼつ行きますね!

○o。.☆ポチ☆.。o○

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速もコメントを有難う御座います。
[解答2]は収束することを前提とした解答ですので、減点されるかも? です。
[解答1]が無難ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速もコメントとポチを有難う御座います。
先日の青とピンク以外のこの濃いピンクは私にはあまり見られません。
別の場所で撮りました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速もコメントとポチを有難う御座います。
いよいよブログ再開ですか。
また、訪問させて頂きます。

古い人  
No title

今日の花の色もいいですね。

何か花火が弾けたようですね。
この頃は色も色々出来るみたいですね。
ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ヤグルマギクはみんなソフトな色合いですね(o^-^o)
綺麗ですね♪ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
今日の矢車草 色がとても良いですねー
今は矢車草も見る機会が少なく懐かしさがよみがえってきます

昔母も大好きでよく植えていました
此の色を見て思い出しました

白にピンクブルー此の3色が定番だったように思います ポチ

uch*n*an  
No title

これは比較的容易な問題で,確率のよい復習問題だと思います。
私の解法は二つ。(解法1)は[解答2],(解法2)は漸化式を使いましたが[解答1]でした。
[解答3]は思い付きませんでしたが,確かにそうですね。
そういえば,算数で「確からしさ」として無限級数が絡む確率を扱う場合で,
[解答3]のような解法を見たことがあることを思い出しました。

いっちゃん  
No title

こんにちは。今まで矢車草と呼んでいましたが、
正式にはヤグルマキクって云うのですね。
山の花に☆みたいな可愛い矢車草というのを知りました。。ポチ(久しぶりのポチです^^)

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このヤグルマギクも輝いていました。
日差しを浴びた花はいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このようなソフトな色合いの花は見ていて心が和みます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も小さい頃によく見た記憶があります。
犬のスピッツと同じように近年ほとんど見ることがなかったのですが、
このごろまた見られるようになってきました。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
素敵な色で大きな花ですね
ヤクルマキクっていうんですか
フワフワして心地よさそうな花ですね”ポチ

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、お忙しい中、コメントを有難う御座います。
やはり[解答1]がいちばん無難ですね。
手っ取り早いのはやはり[解答2][解答3]です。
確率は1以下(有界)で、単調増加だから収束することを言って[解答2]だったら、
最初から[解答1]のほうが楽なように思えます。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
植物の名前は難しいですね。
誤解のないようにヤグルマギクという方がいいようですが、
ヤグルマソウと言うこともよくあるそうです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
茎が長いので、風に揺れる姿がいいです。
切り花にするのもよさそうですね。

ニリンソウ  
No title

この色もいいですね、逆光を上手く撮ってます
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
多分、逆光を意識して花の方が旨く咲いてくれていたのでしょう。