[答430] 時計の針でできる角

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[答430] 時計の針でできる角


　0時からの12時間で、時計の短針，長針，秒針が、文字盤を 45ﾟ，135ﾟ，180ﾟ に分ける時刻は？

　もちろん、「時」は 0～11 の整数、「分」は 0～59 の整数、「秒」は 0以上 60未満です。

　また、短針，長針，秒針は、なめらかに動くものとします。


[解答]

　その時刻を ｈ時ｍ分ｓ秒とします。

　また、短針，長針，秒針の位置は 0時00分00秒から右回りの角度(度数法)で表すものとします。

　短針の位置は 30h＋m/2＋s/120 ，長針の位置は 6m＋s/10 ，秒針の位置は 6s です。

　秒針と長針の作る角は、6s－(6m＋s/10)＝±45，±135，±180 だから、

　60s－60m－s＝±450，±1350，±1800 、

　59s＝60m±450，60m±1350，60m±1800＝30(2m±15，2m±45，2m±60) になり、

　59s は 30 の倍数だから、59s＝30k (k は整数) とおきます。

　0≦s＜60 より、0≦59s＜3540 、0≦30k＜3540 、0≦k＜118 になります。

　長針と短針の作る角は、(6m＋s/10)－(30h＋m/2＋s/120)＝±45，±135，±180 だから、

　6m＋3k/59－30h－m/2－k/236＝±45，±135，±180 、11k/236＋11m/2－30h＝±45，±135，±180 、

　11(k＋118m)/236＝30h±45，30h±135，30h±180 、11(k＋118m)＝236･15(2h±3，2h±9，2h±12) 、

　ここで、k＋118m は 236･15＝3540 の倍数で、0≦k＜118，0≦118m≦6962 だから 0≦k＋118m＜7080 、

　k＋118m＝0，3540 、(k，m)＝(0，0)，(0，30) になり、(s，m)＝(0，0)，(0，30) です。

　(s，m)＝(0，0) のとき、秒針と長針の作る角は、6s－(6m＋s/10)＝0 で適しません。

　(s，m)＝(0，30) のとき、秒針と長針の作る角は、6s－(6m＋s/10)＝－180 で、

　このとき、長針と短針の作る角は、(6m＋s/10)－(30h＋m/2＋s/120)＝±45，±135 だから、

　180－30h－15＝±45，±135 、－30h＝－165±45，－165±135 、h＝4，7，1，10 になります。

　従って、1時30分00秒，4時30分00秒，7時30分00秒，10時30分00秒で、

　確かにこの場合、長針と秒針の角は 180ﾟ 、短針と長針の角は 45ﾟ または 135ﾟ になります。

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