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[答436] 調和平均

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答436] 調和平均


 2つの自然数 a,b があって、その調和平均が 36/5 であるとき、相乗平均は?


[解答1]

 a≦b としても一般性を失いません。

 2ab/(a+b)=36/5 だから、5ab=18a+18b 、25ab-90a-90b=0 、(5a-18)(5b-18)=324 です。

 ここで、5a-18≧-13 ,5b-18≧-13 だから、

 5a-18<0 ,5b-18<0 であれば、(5a-18)(5b-18)≦169 で、成り立ちません。

 よって、5a-18>0 ,5b-18>0 で、5a-18≡2 ,5b-18≡2 (mod 5) だから、

 (5a-18,5b-18)=(2,162),(12,27) 、(a,b)=(4,36),(6,9) です。

 よって、相乗平均は、12,3√6 になります。


[解答2]

 a≦b としても一般性を失いません。調和平均を m とすれば、a≦m≦b になります。

 (1/a+1/b)/2=1/m 、m=7.2 だから、a=1,2,3,4,5,6,7 しか考えられません。

 また、1/a+1/b=2/m=5/18 、1/b=5/18-1/a=(5a-18)/(18a) 、b=18a/(5a-18)>0 だから、

 a=4,5,6,7 しか考えられません。

 それぞれの a の値に対する b の値は b=36,90/7,9,126/17 だから、

 (a,b)=(4,36),(6,9) で、相乗平均は、12,3√6 になります。

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Comments 20

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古い人  
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今日の花はホタルブクロですね。

木の花は私もアップしましたが野草の中でも可愛い花ですね。
我が家には木の花の八重花が今咲き掛けていますよ。
ポチ。

アキチャン  
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おはようございます。
下向きのお花は撮るのに苦労しますが、
きれいに撮れてますね(o^-^o) ポチ♪

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
貴殿の作問の発想...♪
まるでタクシーのナンバーを聞いて二つの立方数で表される数だと喝破したというラマヌジャンの逸話を彷彿とさせられましたぁ☆☆☆

ひとりしずか  
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霜降りが綺麗!
下から撮れましたね~
ポチ☆

tsuyoshik1942  
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見事ですすね!それもねらって作問した作品とはなおさらです。
解き、解を送信した時点では「出題日の絡み」は気がつきませんでした。リコメを拝見し感心しておりました。

自分は「解答2」のなかの式 b=18a/(5a-18)と同価の5b=18+648(10a-36)を組み立て、そこから答を導きましたが、客観的に利点はないようです。

Yasuko  
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おはようございます♪
下から綺麗に撮れてますねぇ~✿
私は、苦手です^_^;
一度挑戦してみます~~~~~~(笑)

○o。.☆ポチ☆.。o○

さっちゃんこ  
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こんにちわ
ホタルブクロも下から覗きこむようにして観るとこんな感じなのですね

とても綺麗に撮れています
ヤドカリさんは流石にアングル狙いが上手ですね ポチ

uch*n*an  
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これは,調和平均,整数解の求め方などのよい復習問題でした。
私の解法は[解答1]と同じでした。それ以上は考えませんでしたが,
調和平均は逆数の相加平均の逆数なので,[解答2]も自然な解法だと思います。
分数の形にして解く,というのも,整数解を求める常套手段の一つですしね。

ニリンソウ  
No title

ホタルブクロを覗きましたか、蛍になった気分(笑)
ポチ

こっこちゃん  
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こんにちは。o@(^-^)@o。ニコッ♪

ホタルフクロ 下からこんなに美しく撮るのは困難ですよね 素敵な画像にポチ

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴殿も先日ホタルブクロをアップされていましたね。
この花も梅雨時期を代表する花だと私は思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
確かに下向きで撮りにくい花です。
撮ろうとして思いとどまったことも何回かあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
このように旨くいくのは偶然も必要です。
4,36,6,9 がたまたま 2,3 以外の素因数を含まないので良かったのです。
436 を 43,6 に分けると素数の 43 が手に余ります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
下から撮ると普段は見られない姿が見られたように思います。
カメラは便利ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
実は[431]の問題の答が 4310025 ですが、
どうしても 5月25日に出題できず、29日になってしまいました。
この悔しさがあって、リベンジの機会が与えられたような気がしての出題です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も苦手です。ただ、デジカメは失敗してもすぐに消去できますので、
失敗覚悟で何枚も撮ったなかの1枚です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
あまり意識したわけではなく、なんとなくローアングルで撮りたかっただけです。
ホタルブクロに失礼かなぁ?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
小さい数ならではの解き方だと思いますが、[解答2]の方が私は気に入っています。
意図したわけではありませんが、
「調和平均,整数解の求め方などのよい復習問題でした」と書いて頂き、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
昔 子供が蛍を入れて遊んだから、ホタルブクロという説を聞いたことがあります。
蛍もホタルブクロも災難ですね。笑

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
デジカメだから失敗覚悟で何枚も撮りました。
「数打ちゃ当たる」でデジカメを使っています。