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[答437] 円に内接する四角形の辺

ヤドカリ

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[答437] 円に内接する四角形の辺


 AB>CD,BC=37,DA=23,AC⊥BD で、面積が 576 である 四角形ABCD が円に内接しているとき、

 AB,CD の長さは?


[解答1]

 AC と BD の交点を O とします。

 トレミーの定理により、AB・CD+BC・DA=AC・BD だから、

 AB・CD+37・23=2・四角形ABCD 、AB・CD=2・576-851=301 になります。

 また、AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2=BO2+CO2+DO2+AO2=BC2+DA2=372+232=1898 、

 (AB+CD)2=AB2+CD2+2・AB・CD=1898+2・301=2500 、AB+CD=50 です。

 AB+CD=50,AB・CD=301 より、x=AB,CD を解とする2次方程式は x2-50x+301=0 で、

 (x-43)(x-7)=0 、x=43,7 だから、AB=43,CD=7 になります。


[解答2]

 右図のように、劣弧BD上に BE=DC となる 点E をとると、△BED≡△DCB になります。

 ∠ABE=∠ABD+∠DBE=∠ACD+∠BDC=90゚ 、∠ADE=180゚-∠ABE=90゚ だから、

 面積の条件から、AB・BE/2+ED・DA/2=576 、AB・CD=2・576-BC・DA=1152-37・23=301 です。

 また、AB2+CD2=AB2+BE2=AE2=ED2+DA2=BC2+DA2=372+232=1898 、

 (AB+CD)2=AB2+CD2+2・AB・CD=1898+2・301=2500 、AB+CD=50 です。

 AB+CD=50,AB・CD=301 より、x=AB,CD を解とする2次方程式は x2-50x+301=0 で、

 (x-43)(x-7)=0 、x=43,7 だから、AB=43,CD=7 になります。

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Comments 20

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古い人  
No title

今日の花はリュウゼツランの仲間ですね。

リュウゼツランは種類も多くて100種類以上あるそうですね。
種類によっては100年に一度しか花が咲かないとか。
種類により花の形も色々ですね。
ポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ユッカランが綺麗ですね
リュウゼツランの仲間なのですか↑

そう言えばもうリュウゼツランの時期なのですね
そろそろ咲きだすのでしょうね
見に行かなくちゃ~ ポチ

ひとりしずか  
No title

君が代ランというのでしょうか?
丈が高いですね~!
背丈よりあるかも・・
ポチ☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
こちらで観ていたのは、もう散ってますが、
また、違うユッカなのですね(o^-^o)綺麗♪ ポチ♪

tsuyoshik1942  
No title

答は一組しかありませんでしたが、解く前から答の一つは(43,7)であろうと思いました。
自分の解法は「解答1,2」よりすこし遠回りをしていました。

Yasuko  
No title

こんにちは♪
君が代ランかしら?
種類もいろいろ、あるようだけど。。。
背丈が高いですね☆

○o。.☆ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

これは,結局は二次方程式を解くことになりそうなので,
中学レベルか高校レベルに少しかかる,という感じの問題でしょうか。
私の解法は,単純に,△BOC ∽ △AOD と三平方の定理で二次方程式を導くものでした。
若干計算が面倒かな,とは思ったものの,割とあっさり解けたのでそれ以上は考えませんでした。
なるほど,[解答1]はトレミーの定理が,[解答2]は △BED ≡ △DCB が,効いていますね。
もっとも,これらの手法はこのサイトの問題ではよく使う方法で,よい復習になりました。

ニリンソウ  
No title

名前は解りません、皆さんのコメント見てて笑いました
似てるのがあるんだな?
こちらでも見かけますが南国情緒の花ですね

ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は毎年咲いています。
100年に一度の花だったら、値打ちがありますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ユッカは背が高くて白くて好きな花です。
ただ、全体を撮るか近づいて撮るかを迷います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
君が代ランは背景を入れたくなる背丈の高い花です。
クズにまかれながらも綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は何ヶ所かで見たのですが、もう散っているのもあります。
この写真は少し前に撮りましたが、今も咲いていることを願っています。
他の場所で見たのより遅い時期に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
もちろん、答から問題を作ったのですが、
解いてみるとこれ以外に答がありませんでした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この君が代ランは花の文化園に行く途中の道の横の空き地に咲いていました。
写ってはいませんが、後方に花の文化園があります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、いつもコメントを有難う御座います。
この答にするのにお決まりの方法で解けるこの問題しか浮かびませんでした。
「よい復習」と書いて頂いて嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
この花は所々で見かけます。
しかも放置されているものが多いのですが、逞しく咲きます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしはほぼ解法1でしたが...?...
解法2はいつもながら...盲点です...最初に気づいた方は嬉しかったに違いないですよね☆
直交する弦で円弧は対の半分にわけられるのでしたぁ♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
○○コーヒーでも飲みながらのコメントだったらいいですね。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
いつも遅い訪問でごめんなさい

この花は時々見かけるのですが何時もながら名前が解らないです。皆さんのコメントでメモしておきますねえ。
ブログのお友達~いろんな勉強させて貰っております
ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
花は本当にいろいろありますね。
撮り方によっては分かりにくいのもありますので、
なるべく花を大きく撮るのですが、この花は全体の姿の写真を使いました。
ブログは本当に勉強になりますね。