[答437] 円に内接する四角形の辺
[答437] 円に内接する四角形の辺
AB>CD,BC=37,DA=23,AC⊥BD で、面積が 576 である 四角形ABCD が円に内接しているとき、
AB,CD の長さは?
[解答1]
AC と BD の交点を O とします。
トレミーの定理により、AB・CD+BC・DA=AC・BD だから、
AB・CD+37・23=2・四角形ABCD 、AB・CD=2・576-851=301 になります。
また、AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2=BO2+CO2+DO2+AO2=BC2+DA2=372+232=1898 、
(AB+CD)2=AB2+CD2+2・AB・CD=1898+2・301=2500 、AB+CD=50 です。
AB+CD=50,AB・CD=301 より、x=AB,CD を解とする2次方程式は x2-50x+301=0 で、
(x-43)(x-7)=0 、x=43,7 だから、AB=43,CD=7 になります。
[解答2]
右図のように、劣弧BD上に BE=DC となる 点E をとると、△BED≡△DCB になります。
∠ABE=∠ABD+∠DBE=∠ACD+∠BDC=90゚ 、∠ADE=180゚-∠ABE=90゚ だから、
面積の条件から、AB・BE/2+ED・DA/2=576 、AB・CD=2・576-BC・DA=1152-37・23=301 です。
また、AB2+CD2=AB2+BE2=AE2=ED2+DA2=BC2+DA2=372+232=1898 、
(AB+CD)2=AB2+CD2+2・AB・CD=1898+2・301=2500 、AB+CD=50 です。
AB+CD=50,AB・CD=301 より、x=AB,CD を解とする2次方程式は x2-50x+301=0 で、
(x-43)(x-7)=0 、x=43,7 だから、AB=43,CD=7 になります。
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