[答437] 円に内接する四角形の辺

[答437] 円に内接する四角形の辺


　AB＞CD，BC＝37，DA＝23，AC⊥BD で、面積が 576 である 四角形ABCD が円に内接しているとき、

　AB，CD の長さは？


[解答1]

　AC と BD の交点を O とします。

　トレミーの定理により、AB･CD＋BC･DA＝AC･BD だから、

　AB･CD＋37･23＝2･四角形ABCD 、AB･CD＝2･576－851＝301 になります。

　また、AB²＋CD²＝AO²＋BO²＋CO²＋DO²＝BO²＋CO²＋DO²＋AO²＝BC²＋DA²＝37²＋23²＝1898 、

　(AB＋CD)²＝AB²＋CD²＋2･AB･CD＝1898＋2･301＝2500 、AB＋CD＝50 です。

　AB＋CD＝50，AB･CD＝301 より、x＝AB，CD を解とする２次方程式は x²－50x＋301＝0 で、

　(x－43)(x－7)＝0 、x＝43，7 だから、AB＝43，CD＝7 になります。


[解答2]

　右図のように、劣弧BD上に BE＝DC となる 点E をとると、△BED≡△DCB になります。

　∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ACD＋∠BDC＝90ﾟ 、∠ADE＝180ﾟ－∠ABE＝90ﾟ だから、

　面積の条件から、AB･BE/2＋ED･DA/2＝576 、AB･CD＝2･576－BC･DA＝1152－37･23＝301 です。

　また、AB²＋CD²＝AB²＋BE²＝AE²＝ED²＋DA²＝BC²＋DA²＝37²＋23²＝1898 、

　(AB＋CD)²＝AB²＋CD²＋2･AB･CD＝1898＋2･301＝2500 、AB＋CD＝50 です。

　AB＋CD＝50，AB･CD＝301 より、x＝AB，CD を解とする２次方程式は x²－50x＋301＝0 で、

　(x－43)(x－7)＝0 、x＝43，7 だから、AB＝43，CD＝7 になります。

.