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[答438] 面積の2等分

ヤドカリ

ヤドカリ



[答438] 面積の2等分


 △ABCがあり、中線BMと、△ABMの面積を2等分する線分CPを描き、BMとCPの交点をQとします。

 BM=2 とすると QMの長さは?


[解答1]

 QM=x とすれば、BQ=2-x になります。

 メネラウスの定理により、(AP/PB)(BQ/QM)(MC/CA)=1 、

 (AP/PB){(2-x)/x}(1/2)=1 、AP/PB=2x/(2-x) 、AB/PB=(2+x)/(2-x) です。

 次に、△ABM/△PBQ=2 だから、(AB/PB)(MB/QB)=2 、{(2+x)/(2-x)}{2/(2-x)}=2 、

 2+x=(2-x)2 、x2-5x+2=0 、0<x<2 と併せて、x=(5-√17)/2 です。


[解答2]

 △PBQ=S,△AQM=Sx とすれば、

 △APQ=S-Sx 、△CMQ=△AQM=Sx 、△QBC=△QBA=△APQ+△PBQ=2S-Sx になります。

 また、BM:QM=△CBM:△CQM=2S:Sx=2:x ,BM=2 だから、QM=x になります。

 次に、AP:PB=△QAP:△QPB=△CAQ:△CQB だから、

 (S-Sx):S=2Sx:(2S-Sx) 、(1-x):1=2x:(2-x) 、(1-x)(2-x)=2x 、

 x2-5x+2=0 、0<x<2 と併せて、x=(5-√17)/2 です。


[解答3]

 下図のように、平行四辺形ABCDを作り、QM=x とすれば、BQ=2-x,QD=2+x になります。

 △BQP∽△DQC だから、BP:DC=BQ:DQ=(2-x):(2+x) だから、BP:BA=(2-x):(2+x) です。

 △BQP:△BMA=BQ・BP:BM・BA=(2-x)2:2(2+x) ,△BQP:△BMA=1:2 だから、

 (2-x)2:2(2+x)=1:2 、2(2-x)2=2(2+x) 、(2-x)2=2+x 、

 x2-5x+2=0 、0<x<2 と併せて、x=(5-√17)/2 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

おはようございます♪
ネギ坊主を大きくしたようなお花「アリウム」ですねぇ~✿
葉をちぎるとネギの臭いかしますよ””
個性豊かなお花ですよね☆

○o。.☆ポチ☆.。o○

古い人  
No title

今日の花はアリウム・ギガンチュームてすね。

此花もこの頃彼方此方で見られますね。
大きな葱坊主の花見事ですね。
ポチ。

ニリンソウ  
No title

おはようございます
台風無事通過でしたか、ここも寝てる間に居なくなったようですが?

アリウムね可愛い小花が集まって丸くなり
色もいい 長い首が強雨風避けたようですね

ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

おはようございます。
台風はヤドカリさん地方で暴れたのでしょう。
大丈夫でしたか怪我をした方もいましたね。

アリウム、雪洞が可愛いわ~~
ポチッ☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
メネラウスも使えず...面積比もこんらがり...撃沈 ^^;
前輪だけの空回り...閃き降臨せず...
解法3は...Aha!!
補助線一発の素敵な問題でしたね ♪...脳が喜んでます☆☆☆

tsuyoshik1942  
No title

[解答1」と同じでした。割りと簡明に答が出てきたこともあり、他の解法追求は怠りました。

きゅうり、トマト、なす...5本ずつの小さな家庭菜園を見回ってきました。思ったほどの被害がなくほっとしております。農業、漁業に従事されている方のご心労を改めて慮りました。
もっともどんなお仕事でもそれぞれ大変ですね!
きゅうり一本に気をもむ気楽さを、寂しいと言うのか、申し訳ないというのか、良いご身分というのか、どう思いましょう!!

アキチャン  
No title

おはようございます。
大きな物も観た時にはびっくりしました(笑)
丸くて可愛いですネ(o^-^o)ポチ♪

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
可愛いです。。以前ショールにこんな風に丸いものがいっぱい(わたしのは白でしたが^^)付いていたのを外人さんがポンポンと言ってくれました。
日本の言い方と一緒で面白いと思ったのを思い出しました^^
アリウムのポンポンにポチ

uch*n*an  
No title

これは,算数っぽく考えられる問題ですが,
二次方程式を解くことになるので,中学レベルでしょうか。
私の解法は三つ。(解法1)は実質[解答2]と同じ。(解法2)は[解答1]と同じ。
(解法3)もメネラウスの定理を使うものですが,BA = BC の特殊化につながる解法でした。
なお,[解答3]は,算数などでよくやるメネラウスの定理を使わない解法の一つですが,
他にも,Q から BA に平行な線を引く,などの手法もありますね。

こっこちゃん  
No title

こんにちは
台風は 被害がなかったですか”

アルーム 大きくユウモアのある姿ですよね” ☆

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花を始めて見た時は驚きました。
この写真は花の文化園で撮ったもので、残念ながら葉をちぎるわけにはいきません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花も方々で見られますが、初めて見たときはその形に驚きました。
ネギより球形に近いのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
足の速い台風で、すぐに過ぎ去っていきました。
アリウムの小さな花を詳しく見たことはありませんが、
今度出会えたら観察したいです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらにとって、紀伊半島に上陸する台風はそんなに怖くありません。
怖いのは四国の東から紀伊水道を北上するものです。
ニュースではいろんな所で被害が出ていたようですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
平行四辺形の対角線が中点で交わることを活かして問題を作れないかを考えていて、
この問題を作成しました。
易しすぎない程度に問題が完成しました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
家庭菜園をされているもですね。
仰る通り、農業や漁業に従事されている方は、さぞ、ご心労があったことと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
なぜこんなに球形に近いのか知りませんが、見事な形だと思います。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
外国の方も丸いのをポンポンというのですか。
初めて知りました。
ところで、
貴女のショールにこんなに大きいのが沢山ついていたわけではありませんよね。笑

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答1][解答2]が標準的な解き方だと思いますが、
[解答3]は、これをもとに作問した問題ですので、この解答を期待していました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
台風は素早く通り過ぎていきました。
海からも山からもかなりの距離があり、
高潮や土砂崩れはTVの画面でみるだけです。

アリウム、不思議な形ですね。