FC2ブログ

Welcome to my blog

[答439] 放物線と四角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答439] 放物線と四角形の面積


 図のように、原点Oで60゚の角をなして交わる2本の直線と、放物線 y=x2-1/4 の交点を

 A,B,C,D として、四角形ABCDを作ります。

 このとき、この四角形ABCDの面積Sの最小値は?


[解答1]

 AC:y=mx ,BD:y=nx とすれば、

 tan60゚=|m-n|/|1+mn| 、(√3)|1+mn|=|m-n| 、3m2n2+6mn+3=m2-2mn+n2

 3m2n2+8mn+3=m2+n2≧2√(m2n2)=2|mn| 、 3m2n2+8mn-2|mn|+3≧0 になります。

 mn≧0 のとき、この不等式は明らかに成り立ちます。

 mn<0 のとき、3m2n2+10mn+3≧0 、(mn+3)(3mn+1)≧0 、mn≦-3,-1/3≦mn です。

 従って、mn の範囲は mn≦-3,-1/3≦mn です。

 次に、A(a,ma),C(c,mc) として AC を求めます。

 y=x2-1/4,y=mx より、x2-mx-1/4=0 、

 この解が a,c だから、解と係数の関係により、a+c=m ,ac=-1/4 、
 
 AC2=(a-c)2+(ma-mc)2=(m2+1)(a-c)2=(m2+1)(a-c)2=(m2+1){(a+c)2-4ac}=(m2+1)2

 AC=m2+1 になり、同様にして、BD=n2+1 になります。

 四角形ABCD の 面積S は、

 S=(1/2)・AC・BD・sin60゚=(√3)(m2+1)(n2+1)/4=(√3)(m2n2+m2+n2+1)/4

  =(√3){m2n2+(3m2n2+8mn+3)+1}/4=(√3)(m2n2+2mn+1)=(√3)(mn+1)2

 mn≦-3,-1/3≦mn より、mn=-1/3 のとき、S の最小値は (4√3)/9 です。


[解答2]

 AC:y=(tanα)x ,BD:y=(tanβ)x ,A(a,a・tanα),C(c,c・tanα) とします。

 y=x2-1/4,y=(tanα)x より、x2-(tanα)x-1/4=0 、

 この解が a,c だから、解と係数の関係により、a+c=tanα ,ac=-1/4 、

 AC2=(a-c)2+(a・tanα-c・tanα)2=(1+tan2α)(a-c)2

  =(1+tan2α)(a-c)2=(1+tan2α){(a+c)2-4ac}=(1+tan2α)2

 AC=1+tan2α=1/cos2α になり、同様にして、BD=1/cos2β になります。

 四角形ABCD の 面積S は、

 S=(1/2)・AC・BD・sin60゚=√3/(4cos2αcos2β)=√3/(2cosαcosβ)2

 ここで、|2cosαcosβ|=|cos(α+β)+cos(α-β)|=|cos(α+β)±1/2| だから、

 cos(α+β)=±1 のとき |2cosαcosβ| は最大値 3/2 となります。

 よって、S が最小のとき、S=√3/(3/2)2=(4√3)/9 です。


[解答3]

 この放物線は、y2+y+1/4=x2+y2 、(y+1/2)2=x2+y2

 放物線上の点を(r・cosθ,r・sinθ)とすれば、

 (r・sinθ+1/2)2=r2 だから、r=r・sinθ+1/2 、r=1/{2(1-sinθ)} になります。

 A(OAcosα,OAsinα),B(OBcosβ,OBsinβ),-90゚<α<90゚,β=α+60゚ とすれば、

 OA=1/{2(1-sinα)},OC=1/{2(1+sinα)} だから、

 AC=1/{2(1-sinα)}+1/{2(1+sinα)}=2/{2(1-sinα)(1+sinα)}=1/cos2α です。

 同様に、BD=1/cos2β になります。

 S=(1/2)AC・BDsin60゚=(√3)/(4cos2αcos2β)=(√3)/(2cosαcosβ)2 です。

 ここで、

 |2cosαcosβ|=|cos(α+β)+cos(α-β)|=|cos(2α+60゚)+cos(-60゚)|=|cos(2α+60゚)+1/2|≦3/2 、

 S≧(√3)/(3/2)2=(4√3)/9 で、最小値は (4√3)/9 です。

☆ Sが最小になるのは、cos(2α+60゚)=1, α=-30゚ のときです。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
放物線状の4点を反時計回りにa,b,c,d とすると、
面積は(1/2)*sin60°*(|a||b|+|b||c|+|c||d|+|d||a|) なので...
|a||b|+|b||c|+|c||d|+|d||a|=(|a|+|c|)(|b|+|d|)>=(√(|a||b|+√(|c||d|)^2
等号は...|a|/|c|=|b|/|d| のとき...
放物線は左右対称だから...y軸に関して線対称のときで...
x軸と30°で交わってる...
と考えました...^^...アバウトすぎたかなぁ...?...Orz~

uch*n*an  
No title

これは,大学入試によさそうな問題でした。
私の解法は二つ。若干の表現の違いはありますが,(解法1)が[解答2],(解法2)が[解答3]でした。
[解答3]は,曲座標における放物線,一般に円錐曲線,の標準的な方程式を意識した変形ですね。
[解答1]のような解法も頭にはありましたが,(解法1)=[解答2]で十分と思いまとめませんでした。
なお,[解答1]で,
>|mn|≧0 のとき、この不等式は明らかに成り立ちます。
>|mn|<0 のとき、3m2n2+10mn+3≧0 、(mn+3)(3mn+1)≧0 、mn≦-3,-1/3≦mn です。
は,明らかに,mn≧0 と mn<0 の書き間違いですね。
また,後で納得するわけですが,この段階では mn の範囲を求めるのが唐突な気がします。
個人的には,論理の展開の仕方を少し変えた方がいいかな,という気もしますが。
それと,慣れていないと相加相乗平均を使って不等式を導くのも分かりにくいかもしれません。
mn = k とおいて,二次方程式の判別式に持ち込む方が,分かりやすいかも。
まぁ,ここらのコメントは要らぬお世話ですが

アキチャン  
No title

こんにちは!
赤い色がいいですね♪
私は撮ったことがないので今度探してみましょう!!
ポチ♪

ひとりしずか  
No title

始めて見ました~
華やかなお花ですね~
でも綺麗な赤で気にいりました~(^^♪
ポチ☆

こっこちゃん  
No title

こんんちは
アメリカテイゴ そちらでも咲くのですね”

気温が 結構高いのですね” ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アメリカデイゴ、こちらでは割に見かけます。
実物を見ないできちんと頭に入っているのは流石です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらではもう咲いています。他の所でも見ました。
名古屋で未だだというのは意外です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
大きなデイゴの樹があるのですか。
いっちゃんなら、落ちてくる花を羽子板で打ち返しそう!?

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
毎年かわらずに咲いてくれると季節を感じますね。
この花を見ると真夏のように感じます。
今日は朝は小雨も降りましたが、その後の天気が良かったですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
解く時は、そのような置き方がベストだと思います。
うまく解ける場合が多いですね。
問題を作る立場からすると、そのようにしない方が、
問題の角度を決める時に便利です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
x軸と60゚の角度で交わっていても左右対称になります。
この場合は一見して最小値にならないことが分かりますが、
左右対称の場合のどちらかに面積が最小になることは、
きちんとした計算をしないと言いきれません。
なお、最大になる場合はありませんが、
片方の対角線がy軸に近づけていくと面積が無限に大きくなり、
その極限としてy軸を考えると、左右対称になりません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
書き間違いの指摘を有難う御座います。早速なおしました。
コピペするときに要注意ということは分かっていても、また間違ってしまいました。
ところで、
[解答1]はなるべく三角関数を避けるとこうなるという解答です。
仰る通り、mn の範囲を求めるのは唐突に見えますね。
対角線のなす角が90゚であれば mn=-1 で、
これに倣って範囲を準備しておきました。
もちろん、後で使うことを見とおした上での話ですが。

[解答1][解答2][解答3]と並べたのは、三角関数の威力を示すねらいもありました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
古い人さんによれば、名古屋地方はまだのようですね。
そのうちに目立つ赤が見られると思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
暑い所で育つ樹ですので、そちらではないかも知れません。
赤がよく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
アメリカデイゴはこちらでも咲きます。
宮崎県(小林市)で見てから意識するようになりました。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
>x軸と60゚の角度で交わっていても左右対称になります。
...がよくわかりません...^^;...
ACとBDが60°だったら...角AOD=60°のときは...y軸で対称にならないと思います...勘違いしてたらめんご...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
AC:y=(√3)x ,BD:y=-(√3)x とすれば、
対角線のなす角は60゚で、左右対称です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっかぁ...^^;...交わる角度って2種類存在しえましたね...♪
そのどちらが最小かはたしかに...計算して比べなきゃわからないなぁ...
たまたま合ってただけでしたのね...Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
デイゴの花がとても綺麗ですね ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
デイゴの花を見ると夏が来たなぁと思います。
暑い軸の先がけとして季節を教えてくれます。