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[答440] 三角形の内部の円

ヤドカリ

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[答440] 三角形の内部の円


 図のように、面積が 3960 の三角形の内部で、三角形の辺に接するるように半径 3 の円を移動させると、

 円の通過する部分は穴あきで、面積は 2090+9π になりました。

 このとき、もとの三角形の周の長さ(3辺の長さの和)は?

 ただし、図は正確ではありません。


[解答]

 右図のように、内接円を描き、その半径を r (r>6)とします。

 水色の部分と青の部分の面積が 2090+9π で、青の部分を集めると半径 3 の円になるので、

 水色の部分の面積は 2090 です。

 青の部分とピンクの部分を集めるともとの三角形と相似な三角形ができ、

 半径を比べることにより、相似比は 3:r 、面積比は 9:r2 です。

 また、橙色の部分はもとの三角形と相似で、

 半径を比べることにより、相似比は (r-6):r 、面積比は (r-6)2:r2 です。

 3960{1-9/r2-(r-6)2/r2}=2090 、36{1-9/r2-(r-6)2/r2}=19 、36{r2-9-(r-6)2}=19r2

 36(12r-45)=19r2 、19r2-432r+1620=0 、(r-18)(19r-90)=0 、

 r>6 より r=18 になります。

 従って、もとの三角形の周の長さは 2・3960/18=440 になります。

☆ 具体例としては、3辺が 40,198,202 の直角三角形があります。

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Comments 20

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

↑のコメント書き違いです(*_ _)ゴメンナサイ

黄色いユリです~~

アキチャン  
No title

おはようございます。
一面の黄色、、綺麗ですね~(o^-^o)ポチ♪
最近はユリ畑も多くなってますね。。

tsuyoshik1942  
No title

内接円の適用に思い至りませんでした。自分では満足した解法でしたが、「解答」より一手間・2手間多かったです。

ちなみに自分の解法は、
内側の橙色の三角形の倍率をxと置くと、
橙色の三角形の三隅からもとの三角形に垂線をおろし、その部分を切り取り3個あわせると、元の三角形に対し(1-x)の相似三角形ができ、且つその半分の三角形に半径3の円が内接していることを利用したものです。

Yasuko  
No title

おはようございます♪
朝から雨がヒンヤリして少し肌寒いです!
このお花は?チョット自信がありません(;_;)/~~~ハァ

○o。.☆ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

この問題は,算数っぽく考えられるのですが,2次方程式が出てくるので中学レベルでしょうか。
いい問題だと思います。
私の解法は二つですが,いずれも[解答]と同じような感じで,
(解法1)は周の長さ s の方程式を導く解法,(解法2)は相似比の方程式を導く解法,でした。
ただ,最初は,どちらも[解答]における r > 6 に対応する条件を見落として,
何か怪しいな,と思いながらも,余分な解も答えにしてしまいました (^^; 注意しないと。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
内部の三角も相似になることに気づき...ことなきを得ましたぁ ^^;v
なのに...わたしも...r-6>0 の条件を無視して2つの解があるんだと勝手に納得して確信犯的に送った口です...^^...

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ユウスゲです。
レモン色は黄色でも薄い色ですので、爽やかな感じがします。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ユウスゲです。緑の中に黄色が並んでいるので、綺麗に見えました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
薄い黄色ですので、黄色にしては清々しい感じがしました。
こちらこそ、今週もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、最近、ユリ科の花もよく見ます。
花も色もシンプルな感じがいいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
三角形には必ず内接円があるので、定幅を削っても相似になります。
これを問題にしようと考えてできた問題です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はユウスゲ、長居植物園で見ました。
この植物園では、この時期、ヘメロカリスが沢山見られます。
ヘメロカリスはまだ少なかったのですが、先だってユウスゲが咲いていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私も中学レベルだと思います。
理系離れが問題となっている昨今、こういう問題を中学生に解いてほしいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
たまにはこんな問題もいいでしょう。
もちろん、問題番号に絡めないのなら、もっと小さな数値で出題します。

ニリンソウ  
No title

淡い黄色がユウスゲらしいですね
沢山咲いていますね、夕闇にこの色が虫からも良く見えるのでしょうか。
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
虫の目からどのように見えるのか分かりませんが、
複眼で見るともっと沢山に見えるのかも知れませんね。
だとすると見事です。

いっちゃん  
No title

すご~~い!!たくさん咲いていますね。。
見たことあるけど名前は知りませんでした。
ユウスゲですか。。
またひとつ覚えました。。ありがとう。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ユウスゲの薄い黄色は爽やかな感じがします。
黄色のシンプルな花もいいものです。
イイね!は貴女が入れてくれたのですね。

ひとりしずか  
No title

ユウスゲと言うんですか~
薄黄色が優しいです~
イイね!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
ユウスゲはこの時期の一服の清涼剤、
レモンイエローがきれいで、好きな花の1つです。