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[答441] 3項からなる等差数列

ヤドカリ

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[答441] 3項からなる等差数列


 49,169,289 は平方数である3項からなる等差数列で、その公差は 120 です。

 では、平方数である3項からなる等差数列で、その公差が正の立方数で最小であるものは?


[解答]

 使う文字をすべて自然数とします。

 また、平方数である3項からなる等差数列を a2,b2,c2 (a<b<c) とします。

 c2-b2=b2-a2 より、(c+b)(c-b)=(b+a)(b-a) です。

 GCD(c+b,b+a)=g とおけば、c+b>b+a だから、c+b=(m+n)g,b+a=mg とおけて、

 GCD(m+n,m)=1 だから GCD(n,m)=1 です。

 また、自然数 h を用いて、c-b=mh,b-a=(m+n)h と表せます。

 c+b=(m+n)g,c-b=mh より、2c=(m+n)g+mh,2b=(m+n)g-mh になり、

 b+a=mg,b-a=(m+n)h より、2b=mg+(m+n)h,2a=mg-(m+n)h になります。

 従って、2b=(m+n)g-mh=mg+(m+n)h 、2(m+n)g=(m+n)g+mh+mg+(m+n)h 、

 2(m+n)g=(2m+n)(g+h) です。

 ここで、GCD(m+n,2m+n)=GCD(m+n,m)=GCD(n,m)=1 だから、自然数 k を用いて、

 2g=(2m+n)k,g+h=(m+n)k と表され、g=(2m+n)k/2,h=nk/2 になります。

 従って、

 2a=mg-(m+n)h=m(2m+n)k/2-(m+n)nk/2=(2m2-n2)k/2 、

 2b=(m+n)g-mh=(m+n)(2m+n)k/2-mnk/2=(2m2+2mn+n2)k/2 、

 2c=(m+n)g+mh=(m+n)(2m+n)k/2+mnk/2=(2m2+4mn+n2)k/2 、

 a=(2m2-n2)k/4 、b=(2m2+2mn+n2)k/4 、c=(2m2+4mn+n2)k/4 です。

 公差は、c2-b2=(c+b)(c-b)=(4m2+6mn+2n2)(k/4)(2mn)(k/4)=mn(m+n)(2m+n)k2/4 です。

 ここで、a,b,c は自然数ですので、0<n2<2m2 で、

 n が奇数のとき k は 4の倍数,n が偶数のとき k は 2の倍数でなければなりません。

 GCD(m,n)=1 に注意して、

 (m,n,k)=(1,1,4t) のとき、公差は 24t2=23・3・t2

  これを正の立方数で最小にするためには、t=3 、公差は 216 です。

 (m,n,k)=(2,1,4t) のとき、公差は 120t2=23・3・5・t2

  これを正の立方数で最小にするためには、t=15 、公差は 27000 です。

 これ以外の場合は、m≧3 で、

  n が奇数のとき、n≧1,k≧4 、公差は mn(m+n)(2m+n)k2/4≧336 、

  n が偶数のとき、n≧2,k≧2 、公差は mn(m+n)(2m+n)k2/4≧240 、

 以上により、公差が正の立方数で最小のものは、

 (m,n,k)=(1,1,4・3) のとき、(a,b,c)=(3,15,21) 、(a2,b2,c2)=(9,225,441) になります。


[参考]

 n が奇数のとき、m=M,n=N,k=4K 、n が偶数のとき、n=2M,m=N,k=2K とおけば、

 a=|2M2-N2|K 、b=(2M2+2MN+N2)K 、c=(2M2+4MN+N2)K 、

 公差は、4MN(M+N)(2M+N)K2 としてまとめられます。

 ただし、n が偶数のとき、m=N が奇数であるという条件が抜けます。


[参考]

 (m,n,k) ⇒ a2,b2,c2 《公差》 を、m≦7 のものを書き並べると以下のようになります。

 (1,1,4t) ⇒ t2,25t2,49t2 《24t2
 (2,1,4t) ⇒ 49t2,169t2,289t2 《120t2
 (3,1,4t) ⇒ 289t2,625t2,961t2 《336t2
 (3,2,2t) ⇒ 49t2,289t2,529t2 《240t2
 (3,4,2t) ⇒ t2,841t2,1681t2 《840t2
 (4,1,4t) ⇒ 961t2,1681t2,2401t2 《720t2
 (4,3,4t) ⇒ 529t2,4225t2,7921t2 《3696t2
 (4,5,4t) ⇒ 49t2,9409t2,18769t2 《9360t2
 (5,1,4t) ⇒ 2401t2,3721t2,5041t2 《1320t2
 (5,2,2t) ⇒ 529t2,1369t2,2209t2 《840t2
 (5,3,4t) ⇒ 1681t2,7921t2,14161t2 《6240t2
 (5,4,2t) ⇒ 289t2,2809t2,5329t2 《2520t2
 (5,6,2t) ⇒ 49t2,5329t2,10609t2 《5280t2
 (5,7,4t) ⇒ t2,28561t2,57121t2 《28560t2
 (6,1,4t) ⇒ 5041t2,7225t2,9409t2 《2184t2
 (6,5,4t) ⇒ 2209t2,24649t2,47089t2 《22440t2
 (6,7,4t) ⇒ 529t2,42025t2,83521t2 《41496t2
 (7,1,4t) ⇒ 9409t2,12769t2,16129t2 《3360t2
 (7,2,2t) ⇒ 2209t2,4225t2,6241t2 《2016t2
 (7,3,4t) ⇒ 7921t2,22201t2,36481t2 《14280t2
 (7,4,2t) ⇒ 1681t2,7225t2,12769t2 《5544t2
 (7,5,4t) ⇒ 5329t2,37249t2,69169t2 《31920t2
 (7,6,2t) ⇒ 961t2,11881t2,22801t2 《10920t2
 (7,8,2t) ⇒ 289t2,18769t2,37249t2 《18480t2
 (7,9,4t) ⇒ 289t2,93025t2,185761t2 《92736t2

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Comments 20

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

これは,取り敢えず答えを見つけるだけならば,具体的にいろいろやってみればできますが,
最小性まで含めて論理的にきちんと示そうと思うと,なかなか面倒な問題でした。
実際,[解答]も簡単ではないようです。
私の解法は二つ。
(解法1)は,等差数列を (a - m)^2,a^2,(a + n)^2 とおいて条件を絞り,
その条件下で公差が立方数となるものを探す,という解法でした。
(解法2)は,等差数列を[解答]のようにおき,ピタゴラス数との関係から条件を絞り,
その条件下で公差が立方数となるものを探す,という解法でした。
ご参考までに書いておきましょう。

uch*n*an  
No title

(解法2)
a,b,c,d,a < b < c を自然数,等差数列を a^2,b^2,c^2,公差を d^3 とします。
d^3 = b^2 - a^2 = c^2 - b^2,a^2 + c^2 = 2b^2,(a + c)^2 = 2(b^2 + ac)
最後の式は右辺が偶数なので e を自然数として a + c = 2e と書け,
(2e)^2 = 2(b^2 + ac),2e^2 = b^2 + ac,ac = 2e^2 - b^2
そこで,a,c は次の t の二次方程式の解になります。
t^2 - 2et + (2e^2 - b^2) = 0,a = e - √(b^2 - e^2),c = e + √(b^2 - e^2)

uch*n*an  
No title

ここで,a,c は自然数なので f を自然数として
b^2 - e^2 = f^2,e^2 + f^2 = b^2,a = e - f > 0,c = e + f
となることが必要で,e,f,b はピタゴラス数になり,k,m,n,m > n >= 1 を自然数として,
e,f は k(m^2 - n^2),2kmn を e > f となるように選ぶ,b = k(m^2 + n^2)
実は,(e - f)^2 などに意味があるので e > f はあまり意味はないのですが,一応。

uch*n*an  
No title

このとき,
d^3 = (c^2 - a^2)/2 = (c + a)(c - a)/2 = (2e)(2f)/2 = 2ef = 4k^2mn(m + n)(m - n)
ここで,d^3 の最小は,m - n >= 1 より d^3 >= 4k^2mn(m + n) で m - n = 1 を考えれば十分,
しかも,このときの d^3 = 4k^2mn(m + n) は k,m,n に関して単調増加な関数です。
そこで,n = 1 とすると,m = 2,d^3 = 8 * 3 * k^2,k = 3 で d^3 = 6^3 = 216 で OK。
そして,このとき 4k^2mn(m + n) の単調増加性から,
k >= 3 かつ m >= 2 のとき,n >= 1,d^3 >= 216 で,216 は (m,n,k) = (2,1,3) だけ,
m <= 1 はあり得ないので,d^3 < 216 の可能性は後は k = 1 又は 2 だけです。

uch*n*an  
No title

m - n = 1 と単調増加性に注意して,候補は,
k = 1 のとき,
(m,n) = (2,1),d^3 = 4 * 1 * 2 * 1 * 3,NG
(m,n) = (3,2),d^3 = 4 * 1 * 3 * 2 * 5,NG
(m,n) = (4,3),d^3 = 4 * 1 * 4 * 3 * 7 > 216
k = 2 のとき,
(m,n) = (2,1),d^3 = 4 * 4 * 2 * 1 * 3,NG
(m,n) = (3,2),d^3 = 4 * 4 * 3 * 2 * 5 > 216
以上ですべてなので,d^3 が最小なのは,(k,m,n) = (3,2,1) で,
(12 - 9)^2 = 3^2 = 9,15^2 = 225,(12 + 9)^2 = 21^2 = 441,公差 216 = 6^3,
になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは撃沈...^^;
数論と論理展開がきちんとわかってないとおけない問題でしょうね ^^;
流れるような論理は気持ちいいものです♪

Yasuko  
No title

こんにちは♪
真っ白なキョウチクト清楚で良いですねぇ~(@⌒ο⌒@)b
スゴク綺麗に撮れてます~✿
イイね!

こっこちゃん  
No title

今日は
白い夾竹桃 すがすがしいですね”

今日も土砂降りの雨が降り続いています。
イイね 機能でも頭が痛いです 一応非公開で押してみます。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
色白な夾竹桃は七難隠すこともなかろうかと。。^^
雨の日にすがすがしさをありがとうございます。。
いいね☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
どういうわけか白の夾竹桃は一重しか見ません。
素朴で清楚な感じで白がいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
こちらではあちこちに咲いています。
こちらでは梅雨空でどんよりした天気が続いています。
梅雨明けすると暑くなりますが、夾竹桃の元気を見習う季節ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
白い夾竹桃もあちこちに咲いています。
私も清々しく感じる白が好きです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
答を求めるだけなら簡単な問題ですね。
一般的に解こうとすると苦労します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
夾竹桃は白もとく見かけます。
シンプルな一重が沢山咲いているの風景はいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
他の所でも白の夾竹桃は見ますが、ここのは特に沢山咲いていました。
白に惹かれました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと別の解法を有難う御座います。
私の[解答]も簡単ではありませんが、
GCDの基本的な事柄を使って解きました。
最後の[参考]はエクセルで数値だけを求めて書き出しました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
たまにはこんな問題も出来ます。
きちんと解こうとするとけっこう骨が折れますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
他の所でも白の夾竹桃を撮ったのですが、
長居植物園に行くと、撮って下さいとばかりに団体で咲いていました。
被写体から望まれた分、うまく写ったと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
土砂降りの雨は困りものですね。十分ご注意くださいとしか言いようがありません。
イイね!機能で頭が痛いのは私も同じです。私も非公開で押しています。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとイイね!を有難う御座います。
七難どころか強烈な毒を隠しているのでしょう。
でも、見たり写真をとったりしているだけでは何も恐れることはありません。
清々しい花だと私も思います。