[答441] ３項からなる等差数列

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[答441] ３項からなる等差数列


　49，169，289 は平方数である３項からなる等差数列で、その公差は 120 です。

　では、平方数である３項からなる等差数列で、その公差が正の立方数で最小であるものは？


[解答]

　使う文字をすべて自然数とします。

　また、平方数である３項からなる等差数列を a²，b²，c² (a＜b＜c) とします。

　c²－b²＝b²－a² より、(c＋b)(c－b)＝(b＋a)(b－a) です。

　GCD(c＋b，b＋a)＝g とおけば、c＋b＞b＋a だから、c＋b＝(m＋n)g，b＋a＝mg とおけて、

　GCD(m＋n，m)＝1 だから GCD(n，m)＝1 です。

　また、自然数 h を用いて、c－b＝mh，b－a＝(m＋n)h と表せます。

　c＋b＝(m＋n)g，c－b＝mh より、2c＝(m＋n)g＋mh，2b＝(m＋n)g－mh になり、

　b＋a＝mg，b－a＝(m＋n)h より、2b＝mg＋(m＋n)h，2a＝mg－(m＋n)h になります。

　従って、2b＝(m＋n)g－mh＝mg＋(m＋n)h 、2(m＋n)g＝(m＋n)g＋mh＋mg＋(m＋n)h 、

　2(m＋n)g＝(2m＋n)(g＋h) です。

　ここで、GCD(m＋n，2m＋n)＝GCD(m＋n，m)＝GCD(n，m)＝1 だから、自然数 k を用いて、

　2g＝(2m＋n)k，g＋h＝(m＋n)k と表され、g＝(2m＋n)k/2，h＝nk/2 になります。

　従って、

　2a＝mg－(m＋n)h＝m(2m＋n)k/2－(m＋n)nk/2＝(2m²－n²)k/2 、

　2b＝(m＋n)g－mh＝(m＋n)(2m＋n)k/2－mnk/2＝(2m²＋2mn＋n²)k/2 、

　2c＝(m＋n)g＋mh＝(m＋n)(2m＋n)k/2＋mnk/2＝(2m²＋4mn＋n²)k/2 、

　a＝(2m²－n²)k/4 、b＝(2m²＋2mn＋n²)k/4 、c＝(2m²＋4mn＋n²)k/4 です。

　公差は、c²－b²＝(c＋b)(c－b)＝(4m²＋6mn＋2n²)(k/4)(2mn)(k/4)＝mn(m＋n)(2m＋n)k²/4 です。

　ここで、a，b，c は自然数ですので、0＜n²＜2m² で、

　n が奇数のとき k は 4の倍数，n が偶数のとき k は 2の倍数でなければなりません。

　GCD(m，n)＝1 に注意して、

　(m，n，k)＝(1，1，4t) のとき、公差は 24t²＝2³･3･t² 、

　 これを正の立方数で最小にするためには、t＝3 、公差は 216 です。

　(m，n，k)＝(2，1，4t) のとき、公差は 120t²＝2³･3･5･t² 、

　 これを正の立方数で最小にするためには、t＝15 、公差は 27000 です。

　これ以外の場合は、m≧3 で、

　 n が奇数のとき、n≧1，k≧4 、公差は mn(m＋n)(2m＋n)k²/4≧336 、

　 n が偶数のとき、n≧2，k≧2 、公差は mn(m＋n)(2m＋n)k²/4≧240 、

　以上により、公差が正の立方数で最小のものは、

　(m，n，k)＝(1，1，4･3) のとき、(a，b，c)＝(3，15，21) 、(a²，b²，c²)＝(9，225，441) になります。


[参考]

　n が奇数のとき、m＝M，n＝N，k＝4K 、n が偶数のとき、n＝2M，m＝N，k＝2K とおけば、

　a＝|2M²－N²|K 、b＝(2M²＋2MN＋N²)K 、c＝(2M²＋4MN＋N²)K 、

　公差は、4MN(M＋N)(2M＋N)K² としてまとめられます。

　ただし、n が偶数のとき、m＝N が奇数であるという条件が抜けます。


[参考]

　(m，n，k) ⇒ a²，b²，c² 《公差》 を、m≦7 のものを書き並べると以下のようになります。

　(1，1，4t) ⇒ t²，25t²，49t² 《24t²》
　(2，1，4t) ⇒ 49t²，169t²，289t² 《120t²》
　(3，1，4t) ⇒ 289t²，625t²，961t² 《336t²》
　(3，2，2t) ⇒ 49t²，289t²，529t² 《240t²》
　(3，4，2t) ⇒ t²，841t²，1681t² 《840t²》
　(4，1，4t) ⇒ 961t²，1681t²，2401t² 《720t²》
　(4，3，4t) ⇒ 529t²，4225t²，7921t² 《3696t²》
　(4，5，4t) ⇒ 49t²，9409t²，18769t² 《9360t²》
　(5，1，4t) ⇒ 2401t²，3721t²，5041t² 《1320t²》
　(5，2，2t) ⇒ 529t²，1369t²，2209t² 《840t²》
　(5，3，4t) ⇒ 1681t²，7921t²，14161t² 《6240t²》
　(5，4，2t) ⇒ 289t²，2809t²，5329t² 《2520t²》
　(5，6，2t) ⇒ 49t²，5329t²，10609t² 《5280t²》
　(5，7，4t) ⇒ t²，28561t²，57121t² 《28560t²》
　(6，1，4t) ⇒ 5041t²，7225t²，9409t² 《2184t²》
　(6，5，4t) ⇒ 2209t²，24649t²，47089t² 《22440t²》
　(6，7，4t) ⇒ 529t²，42025t²，83521t² 《41496t²》
　(7，1，4t) ⇒ 9409t²，12769t²，16129t² 《3360t²》
　(7，2，2t) ⇒ 2209t²，4225t²，6241t² 《2016t²》
　(7，3，4t) ⇒ 7921t²，22201t²，36481t² 《14280t²》
　(7，4，2t) ⇒ 1681t²，7225t²，12769t² 《5544t²》
　(7，5，4t) ⇒ 5329t²，37249t²，69169t² 《31920t²》
　(7，6，2t) ⇒ 961t²，11881t²，22801t² 《10920t²》
　(7，8，2t) ⇒ 289t²，18769t²，37249t² 《18480t²》
　(7，9，4t) ⇒ 289t²，93025t²，185761t² 《92736t²》

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