[答441] 3項からなる等差数列
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[答441] 3項からなる等差数列
49,169,289 は平方数である3項からなる等差数列で、その公差は 120 です。
では、平方数である3項からなる等差数列で、その公差が正の立方数で最小であるものは?
[解答]
使う文字をすべて自然数とします。
また、平方数である3項からなる等差数列を a2,b2,c2 (a<b<c) とします。
c2-b2=b2-a2 より、(c+b)(c-b)=(b+a)(b-a) です。
GCD(c+b,b+a)=g とおけば、c+b>b+a だから、c+b=(m+n)g,b+a=mg とおけて、
GCD(m+n,m)=1 だから GCD(n,m)=1 です。
また、自然数 h を用いて、c-b=mh,b-a=(m+n)h と表せます。
c+b=(m+n)g,c-b=mh より、2c=(m+n)g+mh,2b=(m+n)g-mh になり、
b+a=mg,b-a=(m+n)h より、2b=mg+(m+n)h,2a=mg-(m+n)h になります。
従って、2b=(m+n)g-mh=mg+(m+n)h 、2(m+n)g=(m+n)g+mh+mg+(m+n)h 、
2(m+n)g=(2m+n)(g+h) です。
ここで、GCD(m+n,2m+n)=GCD(m+n,m)=GCD(n,m)=1 だから、自然数 k を用いて、
2g=(2m+n)k,g+h=(m+n)k と表され、g=(2m+n)k/2,h=nk/2 になります。
従って、
2a=mg-(m+n)h=m(2m+n)k/2-(m+n)nk/2=(2m2-n2)k/2 、
2b=(m+n)g-mh=(m+n)(2m+n)k/2-mnk/2=(2m2+2mn+n2)k/2 、
2c=(m+n)g+mh=(m+n)(2m+n)k/2+mnk/2=(2m2+4mn+n2)k/2 、
a=(2m2-n2)k/4 、b=(2m2+2mn+n2)k/4 、c=(2m2+4mn+n2)k/4 です。
公差は、c2-b2=(c+b)(c-b)=(4m2+6mn+2n2)(k/4)(2mn)(k/4)=mn(m+n)(2m+n)k2/4 です。
ここで、a,b,c は自然数ですので、0<n2<2m2 で、
n が奇数のとき k は 4の倍数,n が偶数のとき k は 2の倍数でなければなりません。
GCD(m,n)=1 に注意して、
(m,n,k)=(1,1,4t) のとき、公差は 24t2=23・3・t2 、
これを正の立方数で最小にするためには、t=3 、公差は 216 です。
(m,n,k)=(2,1,4t) のとき、公差は 120t2=23・3・5・t2 、
これを正の立方数で最小にするためには、t=15 、公差は 27000 です。
これ以外の場合は、m≧3 で、
n が奇数のとき、n≧1,k≧4 、公差は mn(m+n)(2m+n)k2/4≧336 、
n が偶数のとき、n≧2,k≧2 、公差は mn(m+n)(2m+n)k2/4≧240 、
以上により、公差が正の立方数で最小のものは、
(m,n,k)=(1,1,4・3) のとき、(a,b,c)=(3,15,21) 、(a2,b2,c2)=(9,225,441) になります。
[参考]
n が奇数のとき、m=M,n=N,k=4K 、n が偶数のとき、n=2M,m=N,k=2K とおけば、
a=|2M2-N2|K 、b=(2M2+2MN+N2)K 、c=(2M2+4MN+N2)K 、
公差は、4MN(M+N)(2M+N)K2 としてまとめられます。
ただし、n が偶数のとき、m=N が奇数であるという条件が抜けます。
[参考]
(m,n,k) ⇒ a2,b2,c2 《公差》 を、m≦7 のものを書き並べると以下のようになります。
(1,1,4t) ⇒ t2,25t2,49t2 《24t2》
(2,1,4t) ⇒ 49t2,169t2,289t2 《120t2》
(3,1,4t) ⇒ 289t2,625t2,961t2 《336t2》
(3,2,2t) ⇒ 49t2,289t2,529t2 《240t2》
(3,4,2t) ⇒ t2,841t2,1681t2 《840t2》
(4,1,4t) ⇒ 961t2,1681t2,2401t2 《720t2》
(4,3,4t) ⇒ 529t2,4225t2,7921t2 《3696t2》
(4,5,4t) ⇒ 49t2,9409t2,18769t2 《9360t2》
(5,1,4t) ⇒ 2401t2,3721t2,5041t2 《1320t2》
(5,2,2t) ⇒ 529t2,1369t2,2209t2 《840t2》
(5,3,4t) ⇒ 1681t2,7921t2,14161t2 《6240t2》
(5,4,2t) ⇒ 289t2,2809t2,5329t2 《2520t2》
(5,6,2t) ⇒ 49t2,5329t2,10609t2 《5280t2》
(5,7,4t) ⇒ t2,28561t2,57121t2 《28560t2》
(6,1,4t) ⇒ 5041t2,7225t2,9409t2 《2184t2》
(6,5,4t) ⇒ 2209t2,24649t2,47089t2 《22440t2》
(6,7,4t) ⇒ 529t2,42025t2,83521t2 《41496t2》
(7,1,4t) ⇒ 9409t2,12769t2,16129t2 《3360t2》
(7,2,2t) ⇒ 2209t2,4225t2,6241t2 《2016t2》
(7,3,4t) ⇒ 7921t2,22201t2,36481t2 《14280t2》
(7,4,2t) ⇒ 1681t2,7225t2,12769t2 《5544t2》
(7,5,4t) ⇒ 5329t2,37249t2,69169t2 《31920t2》
(7,6,2t) ⇒ 961t2,11881t2,22801t2 《10920t2》
(7,8,2t) ⇒ 289t2,18769t2,37249t2 《18480t2》
(7,9,4t) ⇒ 289t2,93025t2,185761t2 《92736t2》
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