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[答442] 立方体の辺上の移動

ヤドカリ

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[答442] 立方体の辺上の移動


 図のような立方体があって、最初に点Aにある点Pは1回の移動で隣の点に移る。

 11回の移動の後、点Pが点Gにある経路は何通り?


[解答1] 反車(hensha)さんの解答より

 図のように、立方体をかいて地道に経路の数を順に求めると、44286 通りです。


[解答2]

 2k回の移動で、点Pが点Aにある経路をAk通り、点C(F,Hでも同じ)にある経路をCk通り、とすると、

 A1=3, C1=2 ,Ak+1=3Ak+6Ck ……(1) ,Ck+1=2Ak+7Ck ……(2)

 (1),(2)より、Ak+1+3Ck+1=9(Ak+3Ck) ,Ak+3Ck=(A1+3C1)・9k-1 ,Ak+3Ck=32k ……(3)

 (1),(2)より、Ak+1-Ck+1=Ak-Ck ,Ak-Ck=A1-C1 ,Ak-Ck=1 ……(4)

 (3),(4)より、Ak=(32k+3)/4, Ck=(32k-1)/4 です。

 n(偶数)回の移動で、

 点Pが点Aにある経路は、(3n+3)/4 通り 、

 点C(F,Hでも同じ)にある経路は、(3n-1)/4 通り、

 n(奇数)回の移動で、

 点Pが点Gにある経路は、3・(3n-1-1)/4=(3n-3)/4 通り、

 点B(D,Eでも同じ)にある経路は、(3n-1+3)/4+2・(3n-1-1)/4=(3n+1)/4 通り、

 です。

 本題の場合は、(3n-3)/4 に n=11 を代入して、(311-3)/4=44286 通りです。


[参考] n回の移動の仕方は、3n 通りありますが、上の結果は、

 偶数回の移動で行く、A,C,F,Hのうち、出発点Aは他より1回多く、

 奇数回の移動で行く、B,D,E,Gのうち、出発点より一番遠いGは他より1回少ない、

 と、いうことを示しています。

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

「解答1」のようなきれいな図はかけませんでしたが、最初は数え上げました。その後、漸化式および一般解の算出まで試みました。

それにしても、立方体一つの簡単な素材で、適度に難しい結構な問題が出来るものですね!

Yasuko  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはようございます

良い香りが遠くに居ても漂ってきますよ☆*~゚⌒('-'*)⌒゚~*☆
綺麗なクチナシの花(*^。^*)✿
歌にもあったような気がします(くちなしの花)♪

イイね

こっこちゃん  
No title

おはようございます 。o@(^-^)@o。ニコッ♪

美しいクチナシナシの花ですね
こちらは雨ばかりで花びらが凄くに傷んでいますよ
真っ白で鮮やかなクチナシの花にイイね

uch*n*an  
No title

これは,算数問題としてもたまに見かける問題です。
したがって,算数でも解けるわけですが,算数解法としては[解答1]が自然でしょう。
しかし,一般に解くとなると,やはり,[解答2]のような漸化式でしょう。
私の解法は四つでしたが,いずれも漸化式で,漸化式の作り方や解き方に違いはあるものの,
結局は[解答2]と等価な解法でした。

ニリンソウ  
No title

匂ってきそうです
クチナシ今開こうかな・・くるくるがいいです。

イイね

ゆうこ つれづれ日記  
No title

もしかして八重のくちなしの花かしら~~?
お花もきれいだし、香りもいいですよね。
イイね☆

ひとりしずか  
No title

八重のクチナシ綺麗です~!
イイね!

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
このブログの 25000番目のコメントです。
その4倍まで目指せるかなぁ~~?
ところで、梔子、こちらでは方々で見られますよ。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
クチナシの花がお好きなのですね。
かつて「♪梔子の白い花、あなたのような花だった~」と、
誰かに言われたのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]がいちばん単純で確実な方法だと思います。
それを、数学的に解くと、漸化式になりますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
梔子の花はすぐ変色したり形が崩れたりで、いい被写体を探すのがポイントと思います。
散歩しているとこの花に出会えました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
単純な素材でもけっこう難しい問題にもなりますね。
正多面体だけでもいろいろ出来そうです。
そのうちにまた考えます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
白い花の香りといえば、この時期はクチナシとタイサンボクでしょうか。
心の安らぎを感じ、癒されますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
梔子の花はすぐ傷んでしまいますよね。
そちらがこのところ雨が多いとTVでもよく聞きます。
花に恵み程度の雨がいいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私も何処かで見かけたのでしょう。
記憶は定かではありませんが、脳裏に図が残っています。
このような簡単な図で問題が出来るのは有難いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
梔子も薔薇も開ききった花よりこの程度の方が私は好きです。
どちらも香りがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
こちらでは、梔子はこのような花弁のばかりだと思いますので、
八重かどうかは注意していませんでした。
白い花が方々で目立っています。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
梔子の白い花弁が撮ってほしいと訴えているようでした。
すぐに傷むからそう思えたのでしょう。

古い人  
No title

私も最近写真は撮ってきましたよ。

此花は香りが強くて好いですね。
蕎麦を通るだけで好く匂い気分最高ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントを有難う御座います。
私は子供の頃、花より実を先に覚えた記憶があります。
花の香りがいいですね。