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[答443] 領域の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答443] 領域の面積


 xy平面の領域 |x2-4|+2|y|≦5 の面積は?


[解答1]

 y を -y で置き換えても式は変わらないので、この領域は x軸に関して対称です。

 ( y軸に関しても対称ですが、ここでは使いません )

 y≧0 の範囲で、y≦(-|x2-4|+5)/2 だから、

 |x|≦2 のとき y≦(x2+1)/2 ,2<|x| のとき y≦(-x2+9)/2 です。

 x軸に関して対称ですので、図のような領域です。 よって、面積は、

 2{∫-33(-x2+9)/2 dx -∫-22(-x2+4)dx} =∫-33(-x2+9)dx-2∫-22(-x2+4)dx

  =(1/6){3-(-3)}3-(2/6){2-(-2)}3=44/3 です。


 y軸に関しても対称であることを使うと、

 4{∫02(x2+1)/2 dx +∫23(-x2+9)/2 dx}=2{∫02(x2+1) dx +∫23(-x2+9) dx}

  =2( [x3/3+x]02 +[-x3/3+9x]23 )=2(8/3+2-9+27+8/3-18)=44/3 です。


[解答2] 確認のため重積分を使って (uch*n*anさんの解答より)

 X=x2-4,Y=2y とおくと,

 D={(x,y)||x^2-4|+2|y|≦5} ─→ D'={(X,Y)|-4≦X≦5 かつ |X|+|Y|≦5},

 x=±(X+4)1/2,y=Y/2,dxdy=(dx/dX・dy/dY)dXdY,ですが,

 D は x ←→ -x で対称なので,x=(X+4)1/2 とし,その分 D' での積分を2倍すればよく,

 求める面積=∬Ddxdy=2・∬D'(dx/dX・dy/dY)dXdY

  =2・∫-4≦X≦5 { 2・∫0≦Y(dy/dY)dY }(dx/dX)dX

  =2・∫-4≦X≦5 (Y・dx/dX)dX

  =2・〔 ∫-40 { (5+X)・dx/dX }dX+∫05 { (5-X)・dx/dX }dX 〕

  =2・〔 { [(5+X)・x]-40-∫-40x・dX }+{ [(5-X)・x]05+∫05x・dX } 〕

  =2・〔 { [(5+X)(X+4)1/2]-40-∫-40(X+4)1/2dX }+{ [(5-X)(X+4)1/2]05+∫05(X+4)1/2dX } 〕

  =2・〔 { 10-[(2/3)(X+4)3/2]-40 }+{ -10+[(2/3)(X+4)3/2]05 } 〕

  =2・〔 (10-16/3)+{ -10+(18-16/3) }〕=2・22/3=44/3

 になります。

.

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
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グラフを描き、武将の家紋を思い浮かべました。

yが正で、0<x<2と2<x<3の2領域に分けて計算しました。

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンニチワ♪
真っ白で見事なタイサンボクですねぇ~\(o⌒∇⌒o)/
やっぱり白はイイですねぇ~清楚です゚+。:.゚ヽ(*´∀`)ノ゚.:。+゚

イイね!☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは
美しいタイサンボクですね”


木が高く撮りつらいですよね イイネ

uch*n*an  
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この問題は,対称性を考慮しながら絶対値をはずしていけば難しくはないでしょう。
私の解法は二つ。
(解法1)は,x 軸,y 軸に対称を考慮して x >= 0,y >= 0 で考えましたが,[解答1]と同じ。
(解法2)は,[解答2]でした。これは,最初,変数変換をすれば領域が簡単になるので,
それで計算が簡単にならないか,と思ってやってみたのですが,却って面倒になってしまい,
完全に失敗作です (^^; ただ,個人的には,重積分や変数変換のよい復習になりました。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
今日は久しぶりの雨で
植物にとって恵みの雨です。
私はお部屋が寒いので暖房を入れたら気持ちよくなって
いまとっても眠たいです(^^ゞ
タイサンボクのお花なんですか?
逞しさと美しさのあるお花ですね。
イイねポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
タイサンボクはまだまだ沢山咲いています。
雨上がりの大仙公園で撮りました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
この前のクチナシもこのタイサンボクもいい香りが漂ってきます。
私の好きな樹木の1つです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
タイサンボクは蕾も開きかけもこのくらい開いたものもあって、撮るのに迷います。
開くとすぐ形が崩れるので、何度も見に行って撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
桜の花弁は分かりませんが、
五輪のマークは円5個だからうまく配置すれば絶対値なしで簡単に出来ます。

ヤドカリ  
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いっちゃん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
タイサンボクは撮り易い所になかなか咲いてくれませんので、
何度か通って撮っています。
背が高い人でもタイサンボクに勝てないので、低い花を狙うしかありません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
私も白い花が好きです。
タイサンボクは威風堂々とした大きな花ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
私はコウモリを思い浮かべました。
自由にイメージして同じ答が出るのが、当然とはいえ、数学はいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
他でも見かけますが、雨上がりの大仙公園でしっとりと濡れて咲いていました。
タイサンボクに近づくといい香りがするのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
撮りにくいのですが、いい香りが漂ってくるだけで満足です。
もちろん、うまく被写体になってくれればもっと嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
重積分を私はほとんど使わないので、復習のためにも載せておきました。
面倒な計算になってしまいましたが、それを承知で貴殿は解答してくれましたし、
私もそれを承知で載せさせて頂きました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
道東では見られないのですか。
こちらは蒸し暑くて除湿をあいたいくらいです。
もちろん、節電のため、我慢していますが。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
そっか...^^
たとえば...((x-1)^2+y^2-1)*((x+1)^2+y^2-1)=0
なら...中心が(±1,0)の半径1の円が重なるわけですね♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
考えて頂けたようですね。

ひとりしずか  
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美しさ秘めた貫禄~!
イイね!

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
大きな花で、仰る通り貫禄もあります。