[答449] 有名な面積比
[答449] 有名な面積比
BD:DC=CE:EA=AF:FB=3:5 となるように、△ABC の 辺BC,CA,AB 上にそれぞれ点D,E,F をとり、
BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とするとき、 △PQR:△ABC (面積比) は?
[解答1]
△ADCと直線BEでメネラウスの定理より、(AR/RD)(DB/BC)(CE/EA)=1 、(AR/RD)(3/8)(3/5)=1 、
AR/RD=40/9 、AR:RD=40:9 、AR:AD=40:49 です。
よって、△ABR=(40/49)△ABD=(40/49)(3/8)△ABC=(15/49)△ABC 、
同様に、△BCP=△CAQ=(15/49)△ABC だから、
△PQR=(1-3・15/49)△ABC=(4/49)△ABC 、△PQR:△ABC=4:49 になります。
[解答2]
[解答1]のように、△ADCと直線BEでメネラウスの定理より、AR:AD=40:49 です。
△ABDと直線CFでメネラウスの定理より、(AQ/QD)(DC/CB)(BF/FA)=1 、(AQ/QD)(5/8)(5/3)=1 、
AQ/QD=24/25 、AQ:QD=24:25 、AQ:AD=24:49 です。
よって、AQ:AR=24:40=3:5 、AQ:QR=3:2 になり、同様に BR:RP=3:2 です。
従って、△ABR=(5/2)(3/2)△PQR=(15/4)△PQR となって、
△ABC=(1+3・15/4)△PQR=(49/4)△PQR 、△PQR:△ABC=4:49 になります。
[解答3]
APの延長とBCの交点をSとすれば、AP/PS=AF/FB+AE/EC=3/5+5/3=34/15 です。
これは、メネラウスの定理より、
(AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)=1,(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)=1 、
(AP/PS)(SC/CB)=AF/FB,(AP/PS)(SB/BC)=AE/EC 、
(AP/PS)(SC/CB+SB/BC)=AF/FB+AE/EC 、AP/PS=AF/FB+AE/EC だからです。
よって、AP:PS=34:15 、AS:PS=49:15 になり、△BCP=(15/49)△ABC 、
同様に、△ABR=△CAQ=(15/49)△ABC だから、
△PQR=(1-3・15/49)△ABC=(4/49)△ABC 、△PQR:△ABC=4:49 になります。
[解答4] uch*n*anさんの解答より
△ABR:△ACR=BD:DC=3:5,△ABR:△CBR=AE:EC=5:3,△ABR:△ACR:△CBR=15:25:9,
△ABR:△ABC=15:(15+25+9)=15:49。
同様にして,△BCP:△ABC=△CAQ:△ABC=15:49。
そこで,△PQR:△ABC=(49-15・3):49=4:49,になります。
[解答5]
下図のような三角形6枚を、中央を重ねて六角形を作ります。
重なった部分を△PQRとし、六角形の頂点3個で△ABCを作れば、問題図になります。
水色の三角形の面積を 25 ,橙色の三角形の面積を 9 として、
△PQR:△ABC=4:(3・25+3・9-4)/2=4:49 です。
☆ BD:DC=CE:EA=AF:FB=m:n であれば、[解答5]のように、
△PQR:△ABC=(m-n)2:{3m2+3n2-(m-n)2}/2=(m-n)2:(m2+mn+n2) です。
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