[答449] 有名な面積比

[答449] 有名な面積比


　BD：DC＝CE：EA＝AF：FB＝3：5 となるように、△ABC の 辺BC，CA，AB 上にそれぞれ点D，E，F をとり、

　BEとCFの交点をP，CFとADの交点をQ，ADとBEの交点をR とするとき、 △PQR：△ABC (面積比) は？


[解答1]

　△ADCと直線BEでメネラウスの定理より、(AR/RD)(DB/BC)(CE/EA)＝1 、(AR/RD)(3/8)(3/5)＝1 、

　AR/RD＝40/9 、AR：RD＝40：9 、AR：AD＝40：49 です。

　よって、△ABR＝(40/49)△ABD＝(40/49)(3/8)△ABC＝(15/49)△ABC 、

　同様に、△BCP＝△CAQ＝(15/49)△ABC だから、

　△PQR＝(1－3･15/49)△ABC＝(4/49)△ABC 、△PQR：△ABC＝4：49 になります。


[解答2]

　[解答1]のように、△ADCと直線BEでメネラウスの定理より、AR：AD＝40：49 です。

　△ABDと直線CFでメネラウスの定理より、(AQ/QD)(DC/CB)(BF/FA)＝1 、(AQ/QD)(5/8)(5/3)＝1 、

　AQ/QD＝24/25 、AQ：QD＝24：25 、AQ：AD＝24：49 です。

　よって、AQ：AR＝24：40＝3：5 、AQ：QR＝3：2 になり、同様に BR：RP＝3：2 です。

　従って、△ABR＝(5/2)(3/2)△PQR＝(15/4)△PQR となって、

　△ABC＝(1＋3･15/4)△PQR＝(49/4)△PQR 、△PQR：△ABC＝4：49 になります。


[解答3]

　APの延長とBCの交点をSとすれば、AP/PS＝AF/FB＋AE/EC＝3/5＋5/3＝34/15 です。

　 　これは、メネラウスの定理より、

　 　(AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)＝1，(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)＝1 、

　 　(AP/PS)(SC/CB)＝AF/FB，(AP/PS)(SB/BC)＝AE/EC 、

　 　(AP/PS)(SC/CB＋SB/BC)＝AF/FB＋AE/EC 、AP/PS＝AF/FB＋AE/EC だからです。

　よって、AP：PS＝34：15 、AS：PS＝49：15 になり、△BCP＝(15/49)△ABC 、

　同様に、△ABR＝△CAQ＝(15/49)△ABC だから、

　△PQR＝(1－3･15/49)△ABC＝(4/49)△ABC 、△PQR：△ABC＝4：49 になります。


[解答4] uch*n*anさんの解答より

　△ABR：△ACR＝BD：DC＝3：5，△ABR：△CBR＝AE：EC＝5：3，△ABR：△ACR：△CBR＝15：25：9，

　△ABR：△ABC＝15：(15＋25＋9)＝15：49。

　同様にして，△BCP：△ABC＝△CAQ：△ABC＝15：49。

　そこで，△PQR：△ABC＝(49－15･3)：49＝4：49，になります。


[解答5]

　下図のような三角形６枚を、中央を重ねて六角形を作ります。

　重なった部分を△PQRとし、六角形の頂点３個で△ABCを作れば、問題図になります。

　水色の三角形の面積を 25 ，橙色の三角形の面積を 9 として、

　△PQR：△ABC＝4：(3･25＋3･9－4)/2＝4：49 です。


☆ BD：DC＝CE：EA＝AF：FB＝m：n であれば、[解答5]のように、

　△PQR：△ABC＝(m－n)²：{3m²＋3n²－(m－n)²}/2＝(m－n)²：(m²＋mn＋n²) です。

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