FC2ブログ

Welcome to my blog

[答449] 有名な面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答449] 有名な面積比


 BD:DC=CE:EA=AF:FB=3:5 となるように、△ABC の 辺BC,CA,AB 上にそれぞれ点D,E,F をとり、

 BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とするとき、 △PQR:△ABC (面積比) は?


[解答1]

 △ADCと直線BEでメネラウスの定理より、(AR/RD)(DB/BC)(CE/EA)=1 、(AR/RD)(3/8)(3/5)=1 、

 AR/RD=40/9 、AR:RD=40:9 、AR:AD=40:49 です。

 よって、△ABR=(40/49)△ABD=(40/49)(3/8)△ABC=(15/49)△ABC 、

 同様に、△BCP=△CAQ=(15/49)△ABC だから、

 △PQR=(1-3・15/49)△ABC=(4/49)△ABC 、△PQR:△ABC=4:49 になります。


[解答2]

 [解答1]のように、△ADCと直線BEでメネラウスの定理より、AR:AD=40:49 です。

 △ABDと直線CFでメネラウスの定理より、(AQ/QD)(DC/CB)(BF/FA)=1 、(AQ/QD)(5/8)(5/3)=1 、

 AQ/QD=24/25 、AQ:QD=24:25 、AQ:AD=24:49 です。

 よって、AQ:AR=24:40=3:5 、AQ:QR=3:2 になり、同様に BR:RP=3:2 です。

 従って、△ABR=(5/2)(3/2)△PQR=(15/4)△PQR となって、

 △ABC=(1+3・15/4)△PQR=(49/4)△PQR 、△PQR:△ABC=4:49 になります。


[解答3]

 APの延長とBCの交点をSとすれば、AP/PS=AF/FB+AE/EC=3/5+5/3=34/15 です。

   これは、メネラウスの定理より、

   (AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)=1,(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)=1 、

   (AP/PS)(SC/CB)=AF/FB,(AP/PS)(SB/BC)=AE/EC 、

   (AP/PS)(SC/CB+SB/BC)=AF/FB+AE/EC 、AP/PS=AF/FB+AE/EC だからです。

 よって、AP:PS=34:15 、AS:PS=49:15 になり、△BCP=(15/49)△ABC 、

 同様に、△ABR=△CAQ=(15/49)△ABC だから、

 △PQR=(1-3・15/49)△ABC=(4/49)△ABC 、△PQR:△ABC=4:49 になります。


[解答4] uch*n*anさんの解答より

 △ABR:△ACR=BD:DC=3:5,△ABR:△CBR=AE:EC=5:3,△ABR:△ACR:△CBR=15:25:9,

 △ABR:△ABC=15:(15+25+9)=15:49。

 同様にして,△BCP:△ABC=△CAQ:△ABC=15:49。

 そこで,△PQR:△ABC=(49-15・3):49=4:49,になります。


[解答5]

 下図のような三角形6枚を、中央を重ねて六角形を作ります。

 重なった部分を△PQRとし、六角形の頂点3個で△ABCを作れば、問題図になります。

 水色の三角形の面積を 25 ,橙色の三角形の面積を 9 として、

 △PQR:△ABC=4:(3・25+3・9-4)/2=4:49 です。


☆ BD:DC=CE:EA=AF:FB=m:n であれば、[解答5]のように、

 △PQR:△ABC=(m-n)2:{3m2+3n2-(m-n)2}/2=(m-n)2:(m2+mn+n2) です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

ブットレアにキアゲハでしょうか!
真夏の絵ですねー有毒植物でも蜜は美味しいのでしょう

イイね

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ブッドレアにアゲハのコラボがいいですね
とても綺麗です

キアゲハ いいネ!!

アキチャン  
No title

おはようございます。
飛ぶ蝶をとらえるのは難しいですが、綺麗にとまってますね(o^-^o)
イイね!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
おおっ!!
uch*n*anさんの面積比の解法...眼から鱗☆☆☆
たしかに華麗だなぁ♡

こっこちゃん  
No title

こんにちは
ブットレア 有毒植物ですか

キアゲハ おいしそうに 蜜を吸ってますね” いいね

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
ブットレア&アゲハのコラボ最高です^0^
それにしても暑いデス(;´▽`A``

イイね!☆

uch*n*an  
No title

これは,比較的容易な問題だったと思います。
私の解法は二つ。(解法1)は[解答1],(解法2)は[解答4],でした。
[解答2]でも解いてはいましたが,メネラウスは[解答1]で十分だろうと思ってまとめませんでした。
[解答3]の最初の式は,言われてみればそんなのもあったなぁ,と思い出したものの,
個人的には忘却の彼方でした。覚えていないとちょっと使えそうにないな。なお,
>よって、AP:PS=34:15 、AS:PS=49:15 になり、△ABR=(15/49)△ABC
の最後のところは,△BCP=(15/49)△ABC,の方が分かりやすいだろうな,と思います。
[解答5]は,この手の問題にはベクトル又は斜交座標が背景にあるので,
その意味では自然な発想で,実際,算数でもよく見る手法で,
図的で直感に訴えて分かりやすい,というメリットがあります。
ただ,何の説明もなく図だけ見せられると,唐突で,直感的過ぎて,いつも個人的には,
おいおいちょっとなぁ,と思ってしまう解法でもあります...ごめんなさい。
なお,☆は,[解答5]でなくとも,簡単に出せますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
蜜の多い花ですのでアゲハ蝶には好まれるようですね。
蝶と一緒に撮りたい花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ブッドレアは調べると沢山の種類があるそうですね。
蜜の多い花で、よく蝶が舞っています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
蝶はブッドレアの周りを舞っていましたので、何枚も撮りました。
その中に止まった瞬間のがあり、それがこの写真です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
やはりメネラウスの定理で比を求めるのが確実な方法です。
[解答4],[解答5]は、解けてから、他に方法はないかと考える解法だと、
私は思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ブッドレアはサポニンを含むそうです。
漢方薬はサポニンを含むものが多いそうで、毒なのか薬なのか私には分かりません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
これも堺市の都市緑化センターで撮ったものです。
以前からブッドレアは撮っていたのですが、アゲハ蝶が来てくれて撮り直しました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと指摘を有難う御座いました。
[解答3]の最後のところは、私も △BCP=(15/49)△ABC の方が分かりやすいと思います。
なぜ △ABR を使ったのか忘れてしまって、訂正しました。
[解答5]については、唐突と思われるかも知れませんが、
解答作成のときに何故か思いつきました。
そのときの私には、[解答4]のCRは思いつきませんでした。
貴殿の解答でハッとさせられました。
>なお,☆は,[解答5]でなくとも,簡単に出せますね。
についてはどの解法でも導けますね。

古い人  
No title

フットレアの蜜は蝶には最高のご馳走らしいね。

此花はよく蝶が集まりますね。

見事です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、お疲れだったでしょう。コメントを有難う御座います。
この花によく蝶が来ますが、なかなか撮れません。
蜜の多い植物を蝶はよく知っていますね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。毒を持っているのですか?
姿勢のいいキアゲハは美味しそうに蜜を吸っていますね。
甘い蜜はいいけど甘い話には注意をしましょう。笑
イイね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとイイね!を有難う御座います。
ブッドレアは沢山の花の集まり、蜜も多いのでしょう。
ところで、昆虫を含め、野生の動物は食中毒にならないのでしょうか?

ひとりしずか  
No title

アゲハ蝶良く撮れていますね~イイね!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
何枚も撮ったうちの1枚です。
もっと動きのある写真も撮れましたが、蝶の顔が隠れました。