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[答450] 使われる数字の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答450] 使われる数字の和


 10100+1 は 401 の倍数です。

 では、1/401 を小数第1000位まで求めたとき、0. の後に使われる 1000 個の数字の和は?


[解答1]

 正の2つの無限小数 1/401 と 10100/401 の和が自然数になるから、

 (1/401 の小数部分)+(10100/401 の小数部分)=1=0.999999…… になり、

  ( (1/401 の小数部分)=1/401 だから (10100/401 の小数部分)=400/401 です )

 どちらも1より小さく、この計算には繰り上がりがないので、

 (1/401 の小数第n桁)+(10100/401 の小数第n桁)=9 、

 (10100/401 の小数第n桁)=(1/401 の小数第(n+100)桁) だから、

 (1/401 の小数第n桁)+(1/401 の小数第(n+100)桁)=9 になり、

 (1/401 の小数第(n+100)桁)+(1/401 の小数第(n+200)桁)=9 も成り立ち、

 (1/401 の小数第n桁)=9-(1/401 の小数第(n+100)桁)=(1/401 の小数第(n+200)桁) です。

 よって、循環節は 200桁です。( 200の約数で、100の約数でないから )

 (1/401 の小数第n桁)+(1/401 の小数第(n+100)桁)=9 だから、

 この 200桁循環節の数字の和は 9・100=900 になります。 

 小数第1000位まで求めると、1000/200=5 回の繰り返しになるから、

 その数字の和は、900・5=4500 です。


[解答2] tsuyoshik1942さん,uch*n*anさんの解答を参考に

 (10100+1)/401=a (aは自然数) とおくと、

 1/401=a/(10100+1)=(10100-1)a/(10200-1) 、この分母の 10200-1 は 9が200個並ぶ数だから、

 1/401 は 200桁毎に (10100-1)a を繰り返す循環小数になります。

 ( (10100-1)a は、実際は198桁ですが上に00を補って200桁と考えます )

 (10100-1)a=10100a-a=10100(a-1)+(10100-a) だから、

 上の100桁と下の100桁の和は、(a-1)+(10100-a)=10100-1 、

 これは、9が100個並ぶ数で、繰り上がりがないから、この200桁の数字の和は 9・100=900 、 

 小数第1000位までにこれを5回繰り返すから、数字の総和は 900・5=4500 です。


☆ 200桁の循環節を、上下 100桁ずつを別々に示すと、次のようになります。

 002493765586034912718204488778054862842892768079800498753117206982543640897755610972568578
 5536159600
 997506234413965087281795511221945137157107231920199501246882793017456359102244389027431421
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☆ 純循環小数の偶数桁の循環節( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-926.html )参照。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

[解答」拝見させていただきました。多少複雑で面倒でも、自分で考えた論理が、自分には分かりやすいです。

1/401=a/(10^100+1)と置く(a=自然数)、ここで分母と分子に(10^100-1)を掛けると、
分母は 999...99、9が200桁、
分子は a*10^100-a ここで、(a<10^100,aの1桁目の数値をmとおくと)
分子の1桁目の数値は(10-m)、101桁目の数値は(m-1)、合わせると9。
aの2桁目の数字をnとすると、分子の2桁目は(9-n)、そして102桁はn、合わせると9、以下同じ、
と考えました。
もっとも、最初の解答送信時の解法はPCによる違反解答でした。

こっこちゃん  
No title

こんにちは
ヤブカンゾウ
マッキで 元気もらえますよね
実際には あまり見れません イイね

uch*n*an  
No title

これは,プログラムを組んでしまえば容易な問題ですが,
手計算でちゃんと示そうとすると結構面倒な問題でした。
私の解法も[解答]と基本的には同じですが,表現が少し違います。
比較も兼ねて,ご参考までに書いておきましょう。
多分,tsuyoshik1942さんの解法により近い解法です。

uch*n*an  
No title

10^100 + 1 は 401 の倍数なので,n を自然数として 10^100 + 1 = 401n と書けます。
そこで,10^100/401 - 1/401 = n - 2/401 ≠ 自然数,と,
(10^100 + 1)(10^100 - 1) = 401n(10^100 - 1)
10^200/401 - 1/401 = (10^100 - 1)n = 自然数
このことより,1/401 は 200 桁周期で循環し,循環節は最後の式の自然数,と分かります。
そして,この循環節は,n が 10 進数表記で n = abc…def とすると,f ≠ 0 で,
(10^100 - 1)n = 10^100 * n - n = abc…def000…(0 が 100 個)…000 - abc…def
= abc…de(f-1)999…(9 が 100 - (n の桁数) 個)…999(9-a)(9-b)(9-c)…(9-d)(9-e)(10-f)

uch*n*an  
No title

そこで,各桁の和を取ると,
a + b + c + … + d + e + (f-1)
+ 9 + 9 + 9 + …(9 の 100 - (n の桁数) 個の和)… + 9 + 9 + 9
+ (9-a) + (9-b) + (9-c) + … + (9-d) + (9-e) + (10-f)
= 9 * (n の桁数) + 9 * (100 - (n の桁数)) = 9 * 100 = 900
1/401 の小数点以下 1000 桁までの数字の和では,循環節が 1000/200 = 5 個あるので,
900 * 5 = 4500
になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
皆さん賢い☆
面白い問題でずいぶん格闘したんだけど矢尽き刀折れましたぁ...^^;
理屈からすると...循環小数のときは一般に言える性質なんですよね☆

ニリンソウ  
No title

ヤブカンゾウイイね。
元気いっぱい夏の色です。

イイね

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ヤブカンゾウもあまり見ませんね。
こちらでは空き地も少なく、公園等に行かないと見られません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
こちらには田圃も小さいものしか見られませんので、
田圃の畦に咲くような姿は見られません。
「田圃の畦道などでよく見かけますね」のコメントが羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ヤブカンゾウのオレンジ色は目立ちますね。
もう少し花の形だスッキリしている方が私は好きです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
そうですね。花は炎天下で平気に咲いているように見えます。
でも、水分が不足しても人間のように飲みに行けないですよね。
熱中症にならないように、水分はこまめに補給しましょう。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
貴殿の説き方と uch*n*anさんの解き方は共通点が多いので、
[解答2]として私なりにまとめました。
表現は違いますが、ほぼ等価なことだと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
このような花が、道端に見えるような所だったらいいなぁ、と思います。
オレンジ色のような黄系統の色には元気が貰えますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
貴殿の説き方と tsuyoshik1942さんの解き方には似たところがあり、
[解答2]として私なりにまとめました。
うまくまとまらず、表現の違いはありますが、ほぼ等価なことだと思います。
解答説明までにはまとめきれませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
これは貴殿へのサービス問題のつもりでした。
貴殿の http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/45372929.html
私の http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26837083.html
を参考にしてください。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
はい、夏らしい色です。
子供の頃から見た記憶があり、そういう草花には季節を感じます。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
あれまぁ...ほんとだ!!!
あな恥ずかしや...^^;;;
忘却能力には優れてるってことで...^^
懲りずによろしくお願いいたします~m(_ _);m~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントを有難う御座います。
> 循環小数のときは一般に言える性質なんですよね☆
の答にはなっていたようですね。

ひとりしずか  
No title

わたしの大好きな色!(^^♪
豪華ですね~!
イイね!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
オレンジ色が目立ちました。
元気の出る色ですね。