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[答451] 面積の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答451] 面積の比


 △ABC において、辺ABを 5:3 に内分する点をD,辺ACを 3:1 に内分する点をE,辺BCの中点をM,

 DEの中点をN とし、直線MNと辺ACとの交点をP,直線MNと辺BAの延長との交点をQ とするとき、

 △APQ と 四角形BCED の面積比は?


[解答1]

 AB=8b,AD=5b,AC=4c,AE=3c,AP=x,AQ=y とします。

 メネラウスの定理より、(CP/PA)(AQ/QB)(BM/MC)=1 で、BM=MC だから、CP・AQ=PA・QB 、

 (4c-x)y=x(y+8b) 、2xy=-8bx+4cy ……(1)

 メネラウスの定理より、(EP/PA)(AQ/QD)(DN/NE)=1 で、DN=NE だから、EP・AQ=PA・QD 、

 (3c-x)y=x(y+5b) 、2xy=-5bx+3cy ……(2)

 (1)-(2) より 0=-3bx+cy 、cy=3bx ……(3)

 (1)より、xy=-4bx+2cy 、cxy=-4bcx+2c2y 、

 (3)を代入して、3bx2=-4bcx+6bcx 、x=2c/3 になり、

 (3)に代入して、cy=3b・2c/3 、y=2b になります。

 △APQ:四角形BCED=AP・AQ:(AB・AC-AD・AE)=(2c/3)・2b:(8b・4c-5b・3c)=4/3:17=4:51 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 △ABC=1,△APQ=s,△APD=t,とすると,△ADC=5/8,△ADE=15/32,より,

 s+t=△QDP=△QEP=s・PE/AP=s・(15/32-t)/t,

 s+t・8/5=△QBP=△QCP=s・PC/AP=s・(5/8-t)/t。

 これらより,3t/5=(5/32)(s/t),s=(96/25)t2,これを2番目の式に代入して,

 (96/25)t2+8t/5=(96/25)t2・(5/8-t)/t,2(96/25)t=4/5,t=5/48,s=1/24 で,

 四角形BCED=1-15/32=17/32,△APQ:四角形BCED=(1/24):(17/32)=4:51,になります。


[解答3] 算数で uch*n*anさんの解答より

 比を考えるので,AB=8,AC=4 として十分なので,以下ではそうします。

 M,N から AC に平行な線を引き AB との交点を S,T とし,AM と NT との交点を U とします。

 AD:TD=EA:NT=ED:ND=2:1,AT=TD=5/2,NT=3/2,

 AB:SB=CA:MS=CB:MB=2:1,AS=SB=4,MS=2,

 PN:NM=AU:UM=AT:TS=(5/2):(4-5/2)=5:3,

 UT:MS=AT:AS=5:8,UT=5/4,NU=1/4,PA:NU=MP:MN=8:3,PA=2/3,

 QA:PA=QT:NT=AT:(NT-PA)=(5/2):(3/2-2/3)=3:1,QA=2,

 △APQ:四角形BCED=(2・2/3):(8・4-5・3)=4:51,になります。


[解答4] ftt*m*28さんの解答より

 △NDQ≡△NEF となるように 点Fをとり、線分EFと線分BCとの交点をGとします。

 AD=5b,DB=3b とすれば、

 △CEG∽△CAB で、相似比が 1:4 だから、EG=2b 、CG=CB/4 、GM=CB/4 になり、

 △GMF∽△BMQ で、相似比が 1:2 だから、2GF=BQ 、2(EF-2b)=DQ+3b 、

 DQ=EF だから、DQ=EF=7b 、QA=2b になります。

 △QPA∽△FPE より PA:PE=AQ:EF=2:7 、AE:EC=3:1 に合わせて、PA:PE=2/3:7/3 です。

 △APQ:四角形BCED=△APQ:(△ABC-△ADE)=AQ・AP:(AB・AC-AD・AE)=2・2/3:(8・4-5・3)

  =4:51 になります。

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Comments 20

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古い人  
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今日の花は萩ですね。

私も先日見ましたが今年は少し早く感じました。

萩の花は秋の花ですが此の頃は季節感が薄れていますね。

すべての花がその様に感じますね。

イイね。

ニリンソウ  
No title

やっぱり萩は咲いているんですね
夏の花になったんだ(笑)
昨日散歩で葛の花を探しましたがさすがまだでしたね

いいね

アキチャン  
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こちらでも、少し前から観ています(o^-^o)
ほんとうに、夏の花になりましたね(笑)
イイね!

tsuyoshik1942  
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[449]の記憶も新たか、メネラウスへ一直線。おかげでようやく、この定理とも友達になれたような気がします。

それにしても、優れた解法がいろいろと有るのですね!

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
四季のお花が、段々と早くなって来たように思いますね。。
あまりの暑さにお花も狂い咲きかも・・・デス
それにしても萩がチョット早すぎますよね(/゚ー゚)゚ー゚)ノ

イイね!☆

こっこちゃん  
No title

こんにちあ

萩の花 こんなに咲いてるのですね”

こちらでは まだ少ししか見ません 小さな秋を感じ イイね

uch*n*an  
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これは,いかにも「メネラウスの定理を使ってね」という感じの問題でしたが,
その反面,いろいろと考えられる楽しい問題でもありました。
私の解法は三つ。(解法1)は実質[解答1]と同じ。(解法2)は[解答2]。(解法3)は[解答3]でした。
[解答4]も基本的には算数解法で面白いですね。ただ,
>△QPA∽△FPE より PA:PE=AQ:EF=2:7 、AE:EC=3:1 に合わせて、AQ:EF=2/3:7/3 です。
の最後の式は,PA:PE=2/3:7/3,かな? 次の行の式からもそう思うんですが。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ピント来なくって...^^;
二等辺三角形に特殊化して...しかもなお...座標でしか解けないという体たらく...Orz...
頭の油が切れかけてるのかもしれましぇん...^^;;;

いっちゃん  
No title

こんにちは~
もう萩の花が咲いてるのですか?
気の早い花ですね。。お彼岸のときの「おはぎ」は
どうしましょう。。いいね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
仰るように季節感が薄れていますね。
地球温暖化が関わっているのかも知れません。
花を愛でているから分かることですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
流石にクズの花はまだですね。
去年は8月の下旬に見た記憶があります。
クズはアメリカでは帰化植物で、グリーンモンスターとよばれているそうです。
わたしもそう感じます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
私も少し前から見つけていますが、写真を撮るほどの量ではありませんでした。
秋の花だと思っていたいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
図を見てまずはメネラウスですね。
メネラウスで解けたらもっといい方法を探るのが順序と思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
この花も錦織公園で撮りました。
ハギもオミナエシも秋の花ですので、長い間咲いてくれるでしょう。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
そちらでも少しは見られるのですね。
小さくて撮りづらい花ですが、懸命に咲いていたと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
早速訂正しました。コピペする部分を間違えたようです。
私は問題作成時、メネラウスで解いたあと、他の解法を考えるのを怠り、
問題発表後、みなさんの解答を見て、引用させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
頭の油はともかく、お互い、水分と塩分が切れないように注意しましょう。
不養生にならないように。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとイイね!を有難う御座います。
お彼岸のときの「おはぎ」は余れば送って下さい。笑
その前に、まだまだ暑い夏を超えなければなりません。
夏バテ・熱中症を避けて、お彼岸を迎えましょう。

ひとりしずか  
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萩って撮りにくい・・
上手に捉えていますね!
イイね!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
確かにハギは撮りにくい花です。
沢山撮って、ましなのを選ぶのは私の方法です。