[答451] 面積の比

[答451] 面積の比


　△ABC において、辺ABを 5：3 に内分する点をD，辺ACを 3：1 に内分する点をE，辺BCの中点をM，

　DEの中点をN とし、直線MNと辺ACとの交点をP，直線MNと辺BAの延長との交点をQ とするとき、

　△APQ と 四角形BCED の面積比は？


[解答1]

　AB＝8b，AD＝5b，AC＝4c，AE＝3c，AP＝x，AQ＝y とします。

　メネラウスの定理より、(CP/PA)(AQ/QB)(BM/MC)＝1 で、BM＝MC だから、CP･AQ＝PA･QB 、

　(4c－x)y＝x(y＋8b) 、2xy＝－8bx＋4cy ……(1)

　メネラウスの定理より、(EP/PA)(AQ/QD)(DN/NE)＝1 で、DN＝NE だから、EP･AQ＝PA･QD 、

　(3c－x)y＝x(y＋5b) 、2xy＝－5bx＋3cy ……(2)

　(1)－(2) より 0＝－3bx＋cy 、cy＝3bx ……(3)

　(1)より、xy＝－4bx＋2cy 、cxy＝－4bcx＋2c²y 、

　(3)を代入して、3bx²＝－4bcx＋6bcx 、x＝2c/3 になり、

　(3)に代入して、cy＝3b･2c/3 、y＝2b になります。

　△APQ：四角形BCED＝AP･AQ：(AB･AC－AD･AE)＝(2c/3)･2b：(8b･4c－5b･3c)＝4/3：17＝4：51 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

　△ABC＝1，△APQ＝s，△APD＝t，とすると，△ADC＝5/8，△ADE＝15/32，より，

　s＋t＝△QDP＝△QEP＝s･PE/AP＝s･(15/32－t)/t，

　s＋t･8/5＝△QBP＝△QCP＝s･PC/AP＝s･(5/8－t)/t。

　これらより，3t/5＝(5/32)(s/t)，s＝(96/25)t²，これを２番目の式に代入して，

　(96/25)t²＋8t/5＝(96/25)t²･(5/8－t)/t，2(96/25)t＝4/5，t＝5/48，s＝1/24 で，

　四角形BCED＝1－15/32＝17/32，△APQ：四角形BCED＝(1/24)：(17/32)＝4：51，になります。


[解答3] 算数で uch*n*anさんの解答より

　比を考えるので，AB＝8，AC＝4 として十分なので，以下ではそうします。

　M，N から AC に平行な線を引き AB との交点を S，T とし，AM と NT との交点を U とします。

　AD：TD＝EA：NT＝ED：ND＝2：1，AT＝TD＝5/2，NT＝3/2，

　AB：SB＝CA：MS＝CB：MB＝2：1，AS＝SB＝4，MS＝2，

　PN：NM＝AU：UM＝AT：TS＝(5/2)：(4－5/2)＝5：3，

　UT：MS＝AT：AS＝5：8，UT＝5/4，NU＝1/4，PA：NU＝MP：MN＝8：3，PA＝2/3，

　QA：PA＝QT：NT＝AT：(NT－PA)＝(5/2)：(3/2－2/3)＝3：1，QA＝2，

　△APQ：四角形BCED＝(2･2/3)：(8･4－5･3)＝4：51，になります。


[解答4] ftt*m*28さんの解答より

　△NDQ≡△NEF となるように 点Fをとり、線分EFと線分BCとの交点をGとします。

　AD＝5b，DB＝3b とすれば、

　△CEG∽△CAB で、相似比が 1：4 だから、EG＝2b 、CG＝CB/4 、GM＝CB/4 になり、

　△GMF∽△BMQ で、相似比が 1：2 だから、2GF＝BQ 、2(EF－2b)＝DQ＋3b 、

　DQ＝EF だから、DQ＝EF＝7b 、QA＝2b になります。

　△QPA∽△FPE より PA：PE＝AQ：EF＝2：7 、AE：EC＝3：1 に合わせて、PA：PE＝2/3：7/3 です。

　△APQ：四角形BCED＝△APQ：(△ABC－△ADE)＝AQ･AP：(AB･AC－AD･AE)＝2･2/3：(8･4－5･3)

　 ＝4：51 になります。

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