[答451] 面積の比
[答451] 面積の比
△ABC において、辺ABを 5:3 に内分する点をD,辺ACを 3:1 に内分する点をE,辺BCの中点をM,
DEの中点をN とし、直線MNと辺ACとの交点をP,直線MNと辺BAの延長との交点をQ とするとき、
△APQ と 四角形BCED の面積比は?
[解答1]
AB=8b,AD=5b,AC=4c,AE=3c,AP=x,AQ=y とします。
メネラウスの定理より、(CP/PA)(AQ/QB)(BM/MC)=1 で、BM=MC だから、CP・AQ=PA・QB 、
(4c-x)y=x(y+8b) 、2xy=-8bx+4cy ……(1)
メネラウスの定理より、(EP/PA)(AQ/QD)(DN/NE)=1 で、DN=NE だから、EP・AQ=PA・QD 、
(3c-x)y=x(y+5b) 、2xy=-5bx+3cy ……(2)
(1)-(2) より 0=-3bx+cy 、cy=3bx ……(3)
(1)より、xy=-4bx+2cy 、cxy=-4bcx+2c2y 、
(3)を代入して、3bx2=-4bcx+6bcx 、x=2c/3 になり、
(3)に代入して、cy=3b・2c/3 、y=2b になります。
△APQ:四角形BCED=AP・AQ:(AB・AC-AD・AE)=(2c/3)・2b:(8b・4c-5b・3c)=4/3:17=4:51 です。
[解答2] uch*n*anさんの解答より
△ABC=1,△APQ=s,△APD=t,とすると,△ADC=5/8,△ADE=15/32,より,
s+t=△QDP=△QEP=s・PE/AP=s・(15/32-t)/t,
s+t・8/5=△QBP=△QCP=s・PC/AP=s・(5/8-t)/t。
これらより,3t/5=(5/32)(s/t),s=(96/25)t2,これを2番目の式に代入して,
(96/25)t2+8t/5=(96/25)t2・(5/8-t)/t,2(96/25)t=4/5,t=5/48,s=1/24 で,
四角形BCED=1-15/32=17/32,△APQ:四角形BCED=(1/24):(17/32)=4:51,になります。
[解答3] 算数で uch*n*anさんの解答より
比を考えるので,AB=8,AC=4 として十分なので,以下ではそうします。
M,N から AC に平行な線を引き AB との交点を S,T とし,AM と NT との交点を U とします。
AD:TD=EA:NT=ED:ND=2:1,AT=TD=5/2,NT=3/2,
AB:SB=CA:MS=CB:MB=2:1,AS=SB=4,MS=2,
PN:NM=AU:UM=AT:TS=(5/2):(4-5/2)=5:3,
UT:MS=AT:AS=5:8,UT=5/4,NU=1/4,PA:NU=MP:MN=8:3,PA=2/3,
QA:PA=QT:NT=AT:(NT-PA)=(5/2):(3/2-2/3)=3:1,QA=2,
△APQ:四角形BCED=(2・2/3):(8・4-5・3)=4:51,になります。
[解答4] ftt*m*28さんの解答より
△NDQ≡△NEF となるように 点Fをとり、線分EFと線分BCとの交点をGとします。
AD=5b,DB=3b とすれば、
△CEG∽△CAB で、相似比が 1:4 だから、EG=2b 、CG=CB/4 、GM=CB/4 になり、
△GMF∽△BMQ で、相似比が 1:2 だから、2GF=BQ 、2(EF-2b)=DQ+3b 、
DQ=EF だから、DQ=EF=7b 、QA=2b になります。
△QPA∽△FPE より PA:PE=AQ:EF=2:7 、AE:EC=3:1 に合わせて、PA:PE=2/3:7/3 です。
△APQ:四角形BCED=△APQ:(△ABC-△ADE)=AQ・AP:(AB・AC-AD・AE)=2・2/3:(8・4-5・3)
=4:51 になります。
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