オイラーの定理

　三角形の内接円と外接円の半径と内心と外心の距離の関係を表したオイラーの定理を紹介します。


　外接円の半径がR，内接円の半径がr である△ABCで、外心をO，内心をI とします。

　 AIの延長と外接円の交点をDとすれば、

　 ∠DBI＝∠DBC＋∠CBI＝∠DAC＋∠CBI＝∠IAB＋∠IBA＝∠DIB となって、DB＝ID です。

　 DEが外接円の直径となるようにEをとり、ACと内接円の接点をH とすれば、

　 ∠IAH＝∠IAB＝∠DEB，∠IHA＝∠DBE＝90ﾟ だから、△IAH∽△DEB となって、

　 IA：DE＝IH：DB 、IA：2R＝r：DB 、2Rr＝IA･DB＝IA･ID になり、

　 I を通る直径FGを描けば、IA･ID＝IF･IG＝(R＋OI)(R－OI)＝R²－OI² だから、

　 2Rr＝R²－OI² 、OI²＝R²－2Rr 、OI＝√R(R－2r) になります。

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