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[答452] 十四面体の体積

ヤドカリ

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[答452] 十四面体の体積


 図のような、1辺の長さが3である正方形6個と正三角形8個でできる十四面体の体積は?


[解答1]

 左下図のように、1辺の長さが 3√2 の立方体から四面体8個を除いたものです。

 除く四面体の1つ分は立方体に比べ、底面積は 1/8,高さは 1/2 だから、

 体積は、(1/3)・(1/8)・(1/2)=1/48 になります。

 従って、求める体積は、(3√2)3(1-8/48)=45√2 になります。


[解答2]

 右下図のように、1辺の長さが 6 の正八面体から四角錐6個を除いたものです。

 正八面体は1辺の長さが 6 の正方形で高さが 3√2 の四角錐2個分で、

 除く四角錐の1つ分はこの四角錐と相似で相似比は 1/2 だから体積は 1/8 です。

 従って、求める体積は、(1/3)・62・(3√2)・(2-6/8)=45√2 になります。

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Comments 20

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古い人  
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今朝の花はスイレンですね。

白の花綺麗でとても良いですね。

白い花びらに黄色のシベが最高ですね。

イイね。

いっちゃん  
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おはようございます^^
清楚な睡蓮の白い花は未草。。
ほんとに観てるだけでこころが安らぎます。。
ありがとうございます。イイね。

こっこちゃん  
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おはようございます

白い スイレン 清楚でいいですね”

朝から心地よい気分に慣れて イイネ

アキチャン  
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おはようございます。
真っ白スイレン、すがすがしいです(o^-^o)
イイね!

Yasuko  
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(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッございます
真っ白な睡蓮清楚な感じがします!
黄色のシベも見ていると不思議な感じが美しいです(⌒▽⌒)☆

イイね!☆

ニリンソウ  
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睡蓮も午前中の花でしょうか!
スッキリ白もいいですね~梅雨のように蒸し暑いです

イイね

uch*n*an  
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これは,この手の問題になれていれば簡単でしょう。ただ,全くの初見では結構苦労するかも。
実は私は,最初,[解答2]の正八面体で解いたのですが,
[解答1]の立方体の方が算数ではないものの考え方がより算数っぽく簡単に感じたので,
最初の書き込みでは立方体の方だけを書きました。
その後,やどかりさんのコメントを見て正八面体を追加しました。
まぁ,どちらも大差はないですね。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
正八面体は気づきにくいですが...立方体と双対だから...想定しなきゃいけませんでした...^^;...
わかりやすい立体から、削り取って行く問題は...元の立体に気づけるかどうかにかかってますよねぇ...Orz~^^

tsuyoshik1942  
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立方体にも正八面体にも当てはめがかなわず、三角錐から引き去りました。それほどの面倒さはなかったものの、やはり立方体には及びません。
やどかりさんや皆さんのコメントを拝見し、もっと良い解法があることは分かっていたのですが、進みませんでした。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
白い花弁に黄色の蕊が際立っていました。
睡蓮はなかなか近づけないので撮りにくいですが。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
白い睡蓮が沢山咲いていました。
アップにすると白が眩しいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ここちよい気分になっていただければ幸いです。
こころ安らぐように花が咲いてくれていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
私も清々しく感じました。
汚れのない白い花はいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
この睡蓮は大浜公園で撮りました。
ここの公園は花の種類が少ないのが難です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
睡蓮は午後も咲いていると思いますが、これは午前中に撮りました。
このところ暑くて、午後に出かけるのは避けています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私はブログを始めるとき、この程度の易しい問題をもっと出題するつもりでした。
ただ、易しい問題のネタは少なく、誰かがすでに出題している気もします。
問題の作成も難しいです。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
もとの立体に気づかないとなかなかこの図は描けません。
図がかなりのヒントになっていますよね。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
四角錐2つを合わせて不要な部分を引けば、正八面体と同じですね。
このようなきれいな形は、正多面体をもとに問題を作ります。

ひとりしずか  
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花びらの白が冴えてますね~!
イイね!

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
白いスイレンは花弁が輝いています。
私は好きです。