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[答453] 2つの内接円と三角形の面積

ヤドカリ

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[答453] 2つの内接円と三角形の面積


 △ABC の 辺BC 上に 点D があって、AD=2,BD=2,CD=1 で、

 △ABD と △ADC の内接円の半径の比が 8:5 のとき、△ABC の面積は?


[解答1]

 ∠ADC=θ とすれば、余弦定理により、

 AB2=22+22-2・2・2・cos(π-θ)=8+8cosθ 、

 AC2=22+12-2・2・1・cosθ=5-4cosθ 、

 よって、AB2+2AC2=18 になります。

 また、内接円の半径は 2・面積/周囲の長さ だから、

 2・2・sin(π-θ)/(AB+2+2):2・1・sinθ/(AC+2+1)=8:5 、

 2/(AB+4):1/(AC+3)=8:5 、10/(AB+4)=8/(AC+3) 、8(AB+4)=10(AC+3) 、4AB=5AC-1 です。

 AB2+2AC2=18 より 16AB2+32AC2=288 、(5AC-1)2+32AC2=288 、57AC2-10AC-287=0 、

 (3AC-7)(19AC+41)=0 、AC=7/3 です。

 (7/3+2+1)/2=8/3 だから、△ADC=√{(8/3)(8/3-7/3)(8/3-2)(8/3-1)}=(4√5)/9 、

 △ABC=3△ADC=(4√5)/3 になります。


[解答2]

 辺ABの中点をMとし、AM=x,AC=y とします。

 △ABD:△ACD=8(2x+2+2):5(y+2+1)=2:1 だから、4(2x+4):5(y+3) 、5y=8x+1 です。

 次に、BD:DC=2:1 なので、スチュワートの定理より、 AB2+2AC2=BD2+2CD2+(2+1)AD2

 4x2+2y2=22+2・12+3・22 、2x2+y2=9 、50x2+(5y)2=225 、50x2+(8x+1)2=225 、

 114x2+16x-224=0 、57x2+8x-112=0 、(3x-4)(19x+28)=0 、x=4/3 です。

 DM=√(22-x2)=√(20/9)=(2√5)/3 、△AMD=AM・DM/2=(4√5)/9 、

 △ABC=3△AMD=(4√5)/3 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしのは解法2に近いんだろか...^^;
ごちゃごちゃになって...式3個つくって...れいのWolframに解かしてしまいましたぁ Orz~...

tsuyoshik1942さんの重心を使った解法面白そうですね☆
ご披露願えれば嬉しいです~m(_ _)m~

スモークマン  
No title


ちなみにわたしの...^^;
大円O,小円O'がBCに接する点をそれぞれP,Qとする。
PD=a,QD=b
(8-2a)*4=(6-2b)*5...1=4a-5b

1=4a-5b, ab=40*t^2, (4a-a^2)/(2-a)^2=a^2/(8t)^2
これを解かすと...^^;
a=2/3, b=1/3, t=1/(6√5) が満たしてる...
△ABC=((8-2a)*8t+(6-2b)*5t)/2=4√5/3

ってな代物でしたぁ...Orz...

uch*n*an  
No title

お,スモークマンさんの解法は,私の(解法2)とほぼ同じようです。
ちなみに,私の頭の中の D が重心となることを利用する解法は,
tsuyoshik1942さんと同じ三角形を作り,パップスの中線定理を使うものでした。

tsuyoshik1942  
No title

①ACを2倍伸ばした点をEとすると、BCはAEの中線で2:1なのでD点は重心
②EDとABの交点をMとすると、MはABの中点となり、<AME=直角
③MD:ME=1:3より、9*MD^2=ME^2より9*(4-x^2)=((2*y)^2-x^2)
④半径と面積から5*y=8*x+1
③と④からxを算出しました。

スチュワートやバップスと本質的には同じなのだと思います。
計算も簡素化されているとは言いがたいかと思います。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
黄色いのはよく観ますが、ピンク色、可愛いですね(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

エキナセアでしょうか?
蕊の部分がポコッとなって可愛いお花ですね。
北海道の暖かい地方でも咲くはじめているかもしれません。
わたしのところではみられないんです~~
イイね☆

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
悩んだあげくこの解法しか浮かびませんでした...^^;...
しかも...手計算ではわたしにはとうてい出せなくって...奥の手で ^^
...それ使わなきゃ無理でしたぁ~Orz~

>tsuyoshik1942 さんへ ^^
なるほどぉ☆
解説いただきありがとうございました~m(_ _)m~
x,y の取り方によって上手い式にもっていけるんですねぇ♪

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
仰る通り、エキナセアです。
薬用になることは知りませんでした。よくご存知ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
言われてみると、「女の子の麦わら帽子」ですね。
これなら覚え易いですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
夏の必需品ですか。
反対に、このごろ、男性用の日傘もあるそうです。
私は持っていませんが。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
確か、昨年、貴女が記事にされていたと記憶しています。
これも花の文化園です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとスモークマンさんへの回答を有難う御座います。
私も重心の発想をしましたが、同じ式がスチュワートの定理ですぐ出る上、
図が拡がるので、この解答はやめました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとスモークマンさんへの回答を有難う御座います。
私も[解答2]がいちばん簡単かと思います。
スチュワートの定理を忘れたら、三角関数を使って、この定理を導くまでですね。
もちろん、これを導くのに三平方も使えるわけで、そう考えると、
似た解答がいくつかできそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
納得して頂けましたでしょうか。
重心を使えるのは、たまたま 2:1 の問題だからで、
一般的にはスチュワートの定理が便利ですね。

tsuyoshik1942  
No title

>重心を使えるのは、たまたま 2:1 の問題だからで、
>一般的にはスチュワートの定理が便利ですね。

本筋の道理であることを承知の上で、敢えて、逆説を唱えるなら、
たまたま 2:1の条件があるなら、それを最大限に活用するのも一つの道かと思いますが!

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
もちろん、そのことは承知しています。
その「たまたま」だからこそ解ける問題もありますし、非常に簡単になる問題もあります。
本題においては、いずれでもなく、一般性を追求する方が良いと私は思いますが、
「たまたま」を利用した画期的な解き方を思いつけば、またのコメントをお願いします。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
ニリンソウさんの花の命名に一票です^^
色合いがピンクでかわいいですね。。イイね。

今日も暑かったです。やどかりさん写真撮ったら、水分塩分も摂ってくださいね。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとイイね!を有難う御座います。
本当に命名が旨いものですね。
ところで、水分も塩分も摂っていますが、こちらも茹だるような暑さです。
貴女も、熱中症にならないよう、十分注意して下さいね。

ひとりしずか  
No title

個性的な形・・
イイね!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
本当に個性的な形をしています。
いろいろと想像をかきたてる花ですね。