FC2ブログ

Welcome to my blog

[答454] 2つの円の面積の和

ヤドカリ

ヤドカリ



[答454] 2つの円の面積の和


 図のように、半円の円弧上の点 P と直径の両端 A,B を結んで、△PAB とその内接円を描き、

 2つの弓形の中にも最大の円を内接させます。半円の半径を 9 ,内接円の半径を 2 とするとき、

 弓形の中の最大円2個の面積の和は?


[解答1]

 半円の半径を R ,内接円の半径を r ,PA=2a ,PB=2b ,弓形PA の中の最大円の半径を x とします。

 また、PA の中点を M ,AB の中点を O として、直線OM を描くと、OM=b=R-2x になり、

 △MAO で三平方の定理より、a2+b2=R2 です。

 更に、直角三角形の内接円の半径は、(2a+2b-2R)/2=a+b-R=r だから、

 a=R+r-b=R+r-(R-2x)=r+2x です。

 従って、(r+2x)2+(R-2x)2=R2 、8x2-4(R-r)x+r2=0 です。

 弓形PB の中の最大円の半径を x としても、8x2-4(R-r)x+r2=0 で、

 判別式/4=4(R-r)2-8r2=4(R2-2Rr-r2)≧0 のとき、

 この2次方程式の解が、2つの円の半径になります。

 この円の半径を p,q とすれば、

 解と係数の関係により、p+q=(R-r)/2 ,pq=r2/8 になります。

 よって、求める面積の和は、次のようになります。

 π(p2+q2)=π{(2p+2q)2-8pq}/4=π{(R-r)2-r2}/4=π(R-r+r)(R-r-r)/4=πR(R-2r)/4 。

 本問の場合、R=9,r=2 だから、R2-2Rr-r2≧0 が成り立ち、

 面積の和は、π・9(9-2・2)/4=(45/4)π です。


[解答2]

 半円の半径を R ,内接円の半径を r ,PA=2a ,PB=2b ,

 弓形PA の中の最大円の半径を x,弓形PB の中の最大円の半径を y とします。

 また、PA の中点を M ,AB の中点を O として、直線OM を描くと、

 OM=b=R-2x になり、同様に、a=R-2y になります。

 次に、直角三角形の内接円の半径は、(2a+2b-2R)/2=a+b-R=r だから、

 a+b=R+r 、R-2y+R-2x=R+r 、x+y=(R-r)/2 です。

 更に、△MAO で三平方の定理より、a2+b2=R2 、(R-2y)2+(R-2x)2=R2

 4(x2+y2)=4R(x+y)-R2=2R(R-r)-R2=R(R-2r) 、

 求める面積の和は、π(x2+y2)=πR(R-2r)/4 。

 本問の場合、R=9,r=2 だから、面積の和は、π・9(9-2・2)/4=(45/4)π です。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日の花は何でしょう。

花の形はノウゼンカズラに好く似ていますね。

此の色は見たことがありませんね。

さて何でしう。

イイね。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法2がスマートに思えるわたし☆
熟読玩味ぃ~^^;v
ちなみに...わたしは、半円を下に点対称に置いて...長方形みたくして方程式を立てました...ま、それをれいによって解かしちゃったんですけどね...^^;...Orz~

ひとりしずか  
No title

ピンクノウゼンカズラでしょうか・・
交配種は色が色々あると聞きました~
優しくおとなしい色ですね~
イイね!

Yasuko  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはようございます
あぁ~~今日のお花はなんでしょう?
自信がありません^_^;
綺麗なピンクです(/゚ー゚)゚ー゚)ノ

イイね!☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
パンドレアピンク(?)可愛いですね(o^-^o)
イイね!

ニリンソウ  
No title

ノウゼンカズラの花姿ですが?
この行列が込み過ぎかな蔓も葉も隠して
やどかりさんの花クイズですね。

イイね

uch*n*an  
No title

これは,大学入試によさそうな問題でした。計算の仕方はいろいろあると思います。
私の解法は,△PAB の内接円の AB の接点と A,B からの距離を x,y とおく解法でした。
この解法からはほとんど明らかですが,[解答1]の
>判別式/4=4(R-r)2-8r2=4(R2-2Rr-r2)≧0 のとき、
は,こうした図が描ける条件で,図形的にも明らかで,チェックなしでも大丈夫なんですけどね。
なお,既に指摘のあるように,一般の場合の結果とオイラーの定理から,
二つの最大円の面積の和は △PAB の内心と外心の距離を直径とする円の面積に等しい,
といえるわけですが,このことを「直接に直感的に図形的に」いえるといいですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
仰る通り、ノウゼンカズラ、ピンクノウゼンカズラです。
私は何ヶ所かで見ましたょ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
解き方は人それぞれだと思いますが、座標を使えば出来そうです。
ただ、座標は計算が面倒だから、なるべく多くの部分を幾何学的に処理したいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ピンクノウゼンカズラをご覧になったことがあるのでしょうか、
よく見るオレンジのノウゼンカズラより涼しそうです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
たまに見られますよ。花の文化園に行く道でも見たことがあります。
実物を見れば、ノウゼンカズラとすぐに分かります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
パンドレアピンク、よくご存知ですね。
ノウゼンカズラを何度か記事にされている貴女には当然かも知れませんが。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
クイズとは認識していませんが、固まって咲いていたので撮りました。
ピンクは涼しげです。水色があればいいなぁとも思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]の判別式については、私も不要かなとも思ったのですが、
念のために実数条件を調べたところ、
一般の三角形については、R≧2r ですが、
直角三角形では、R²-2Rr-r²≧0 すなわち R≧(1+√2)r であることが分かりました。

> 二つの最大円の面積の和は △PAB の内心と外心の距離を直径とする円の面積に等しい,
> といえるわけですが,このことを「直接に直感的に図形的に」いえるといいですね。
これには同感です。
いい方法が見つかればコメントをお願いします。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
いつも遅い訪問で(*_ _)人ゴメンナサイ

ピンクの ノウゼンカツラ 可愛いですよね イイね

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
ノウゼンカズラもピンクだと全く感じが違いますね。
訪問は、出来る時間にして頂くだけでも有難いです。