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[答455] 長さと面積

ヤドカリ

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[答455] 長さと面積


 k を正の定数として、曲線 y=k(3x+3-x) を考えます。

 t≧0 のとき、この曲線,x軸,y軸,直線 x=t で囲まれる部分の面積を S とし、

 この曲線の 0≦x≦t の部分の長さを L とすれば、必ず、2kL=S になります。

 このとき、定数 k の値は?


[解答]

 y'=k(log3)(3x-3-x) なので、

 L=∫0t √{1+k2(log3)2(3x-3-x)2}dx 、

 S=∫0t k(3x+3-x)dx だから、

 2k∫0t √{1+k2(log3)2(3x-3-x)2}dx=∫0t k(3x+3-x)dx 、

 ここで、t=0 のとき成り立つので、t で微分しても同値な式になります。

 2k√{1+k2(log3)2(3t-3-t)2}=k(3t+3-t) 、 2√{1+k2(log3)2(3t-3-t)2}=3t+3-t

 2乗して、 4+4k2(log3)2(3t-3-t)2=(3t+3-t)2 、 {4k2(log3)2-1}(3t-3-t)2=0 、

 この式が、t が 0 以上の任意の値で成り立つので、

 4k2(log3)2=1 、2k(log3)=1 、k=1/(2・log3) です。


[参考]

 カテナリー y=(a/2)(ex/a+e-x/a) に aL=S という性質があります。

 本問は a=1/log3 の場合です。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
眼にも鮮やかな赤いハイビスカス♪
夏は...目に赤花が合いますね☆

この問題は微分と長さの公式を探し出してやっとこさぁ~...でした ^^;
自分で式を導きだせないのが情けない限りですけど...もう諦めが肝心と諦観...^^;...Orz~

アキチャン  
No title

真っ赤でもなく、綺麗なピンク色ですね(o^-^o)
太陽に当たってきれいですね♪

tsuyoshik1942  
No title

最近、微分、積分を少しは扱えるようになったのですが、この問題は手が出ませんでした。
仕方ないので、プログラムを組み概算値(0.4551)を求め、その後、答を推量しました。とはいえ、概算値の算出、答の推量とも手強く、自分としては十分に楽しませていただきました。

こっこちゃん  
No title

おはようございます

大きなアメリカフヨウ 元気もらえますよね” イイね

uch*n*an  
No title

これは,理系の数学の心得があれば簡単な方でしょう。しかし,心得がないと厳しいかも。
[参考]を知っていれば,問題を見ただけで答えが分かりますが,
知らずとも,長さの式が導ければ,式の形から答えは容易に予想が付くでしょう。
私の解法も,若干の論理展開の違いはありますが,[解答]とほぼ同じでした。
ただし,
>L=∫[0.t] √{1+k(log3)(3x-3-x)}dx
は,L=∫[0.t] √{1+(k(log3)(3x-3-x))^2}dx,の書き間違いですね。

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
見事なタイタンビカスです~✿
アメリカフヨウとモミジアオイを掛け合わせた品種だと思いますが?
今日もアトゥ―(゚・・_,゚`暑;)―イデス

イイね!☆

ニリンソウ  
No title

芙蓉も元気ですね!
誰か水を上げているんでしょう水と塩分摂取で乗り切ろう猛暑
花びらの筋までジャスピンです。
イイね

ゆうこ つれづれ日記  
No title

芙蓉の花なんですね。
ニリンソウさんのコメントで知りました。
ハイビスカスかと思ったわ~
芙蓉も暑そうです・・・
イイね☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
日差しを浴びた大きな花だけに目立ちました。
毎日暑いので、日差しを愉しめる花が羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
写真では特定しにくいでしょうが、アメリカフヨウです。
立派な大きな花が咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
花の名前は他の方々に任せて、……
曲線の長さの公式は覚えておいて下さいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
もう少し赤く見えたように思うのですが、光の加減でこの色に写りました。
太陽を浴びた花は綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
近似値からよくこの答を導かれたと感心します。
愉しんで頂き、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
アメリカフヨウは花が大きく、豪華に見えますね。
貴女のブログでも見せて頂いた気がします。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントとミスの指摘を有難う御座います。
早速直しましたが、後の方が正しいだけに、どうしてミスしたのか分かりません。
普通はコピペして、後の方が間違うものですが……。
ともあれ、これは、カテナリーの性質の紹介のためだけの問題です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとイイね!を有難う御座います。
これは長居植物園で撮った写真です。
タイタンビカスも大きな花を咲かせますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
長居植物園に咲いていたものですので水遣りは十分だと思います。
花弁がシャンとしていないと、花に対して気の毒に思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとイイね!を有難う御座います。
ハイビスカスよりずっと大きなアメリカフヨウです。
いずれにしても、夏に似合う花ですね。

樹☆  
No title

こんばんは。
アメリカフヨウでしたか。。
夏って感じですね。。
それにしても暑いです。引っ越し手伝いをしたらフラフラでした。。情けなぃ。。笑
イね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとイイね!を有難う御座います。
こちらも連日の猛暑日、暑いです。
ブログの引っ越しより体力を使ったようですね。