FC2ブログ

Welcome to my blog

[答457] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答457] 漸化式で表された数列


 a1=-26,an+1=2an+n3 (n=1,2,3,……) で定義される数列{ an }について、 a76=?


[解答1]

 an+1=2an+n3 より、

 an+1+(n+1)3=2(an+n3)+3n2+3n+1 、

 an+1+(n+1)3+3(n+1)2=2(an+n3+3n2)+9n+4 、

 an+1+(n+1)3+3(n+1)2+9(n+1)=2(an+n3+3n2+9n)+13 、

 an+1+(n+1)3+3(n+1)2+9(n+1)+13=2(an+n3+3n2+9n+13) 、

 だから、数列{ an+n3+3n2+9n+13 }は公比 2 の等比数列で、

 an+n3+3n2+9n+13=(a1+13+3・12+9・1+13)・2n-1 、 an+n3+3n2+9n+13=0 、

 an=-n3-3n2-9n-13 になります。

 従って、a76=-763-3・762-9・76-13=-457001 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 an+1=2an+n3,an+2-an+1=2(an+1-an)+(3n2+3n+1)

 bn=an+1-an とおくと,b1=a2-a1=a1+1=-25,で,

 bn+1=2bn+(3n2+3n+1),b2=-43,b3=-67,

 bn+2-bn+1=2(bn+1-bn)+(6n+6)

 cn=bn+1-bn とおくと,c1=b2-b1=-18,で,

 cn+1=2cn+(6n+6),c2=-24,

 cn+2-cn+1=2(cn+1-cn)+6

 dn=cn+1-cn とおくと,d1=c2-c1=-6,で,

 dn+1=2dn+6,dn+1+6=2(dn+6),

 dn=2n-1(d1+6)-6=-6
       n-1        n-1
 cn=c1+Σ dk=-18+Σ(-6)=-18-6(n-1)=-6n-12
       k=1        k=1
       n-1        n-1
 bn=b1+Σ ck=-25+Σ(-6k-12)=-25-3n(n-1)-12(n-1)=-3n2-9n-13
       k=1        k=1
       n-1        n-1
 an=a1+Σ bk=-26+Σ(-3k2-9k-13)
       k=1        k=1
  =-26-n(n-1)(2n-1)/2-9n(n-1)/2-13(n-1)=-(n3+3n2+9n+13)

 そこで,a76=-(763+3・762+9・76+13)=-457001,になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

こんばんは^^
赤いお星さまのルコウソウの花。。可愛いですね。
お願いごと聞いてくれそうな気がします^^
ナイス!樹

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
居眠りしていて目が覚めたので更新しました。
真っ赤なルコウソウが線路のフェンスに咲いていました。
鮮やかな色で小さいのに目立っていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
「星に願いを」ですね。
ルコウソウのこの形は夢があります。

ひとりしずか  
No title

ルコウソウ、この花も好きな花!
赤い花びらに白い蕊、映えますね~
綺麗に撮れていますね~!
ナイス!

古い人  
No title

真っ赤に咲く花ルコウソウ綺麗ですね。

深紅の花が目立ちますねヒルガオ科の花ですね。

細い糸の様な葉が印象に残ります。

ナイスです。

こっこちゃん  
No title

(^オ^)(^ハ^)(^ヨ^)(^ウ^)(^ー^)ゴザイマス

ルコウソウ 可愛くて好きな花です

毎日 不快指数 満タン中頑張っています。
ルコウソウ ナイスだね

こっこちゃん  
No title

ルコウソウで トラバさせてくださいね。

アキチャン  
No title

おはようございます。
星の形でかわいいです♪
真っ赤で、きれいですね(o^-^o)ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,通常はちょっと見ない形の漸化式なので,下手に知識のない方がうまく解ける問題かも。
私の解法は四つ。(解法1)は,
a(n+1)/2^(n+1) - a(n)/2^n = n^3/2^(n+1)
a(n) = a(1) * 2^(n-1) + Σ[i=1,n-1]{i^3 * 2^(n-i-1)}
ここで,Σ[i=1,k]{i^m * 2^(n-i-1)} = S(m,k) とおいて,
a(n) = a(1) * 2^(n-1) + S(3,n-1)
と変形し,S(m,k)を m に関する漸化式っぽい計算をして求める解法でした。
やっていることは割と単純なのですが,計算は面倒です。
(解法2)は[解答2],(解法4)は[解答]=[解答1]?でした。
(解法3)は,実質[解答]=[解答1]?と同じですが,解の一意性から解を一つ求めればいいので。
n^3 の項に注目し a(n) を n の多項式と仮定して探す,という解法でした。

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
真っ赤な星型のお花綺麗です∋(。・"・)_†:*.;".*・;・
名前は知りませんでしたぁ(>▽<;; アセアセ

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」や「解答2」のような、論理的な追い込みを試みましたがゴールできませんでした。
結局、7項目ぐらいまで実数値を計算し、その階差、階差が等差数列になることを見つけ、その後は、p*n^3+q*n^2+r*n+sを解きました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
無理矢理、3次式と仮定して(tsuyoshikさんと同じ式 ^^)...恒等式でp,q,r,sを求めて解きましたぁ ^^;...Orz...
こんなのどうやって思いつかれたんだろぅ...☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰るように赤い花弁と白い蕊が印象に残りました。
私にとっても好きな花です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マルバノルコウソウとは違って、糸のような細い葉も特徴ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとTBとナイス!を有難う御座います。
記事としては数学の記事ですので、こちらからのTBは遠慮させて頂きます。
貴女の記事のルコウソウを見て、撮ってあった写真を思い出しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
真っ赤な☆形のルコウソウ、小さいのに目立っていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答]⇒[解答1]でした。解答を追加するときにミスし、今、訂正しました。
ところで、
貴殿の(解法1)は、a(n+1)=p・a(n)+f(n) の形の漸化式の一般的解法ですが、
計算力を必要とすることが多い解法ですね。
それを承知でよく計算されたものだと思います。
(解法2)の階差数列をとる方法も、計算がかなり大変です。
分かっていても私には気力がなく、解答をそのまま使わせて頂きました。
この2つを避けて作った解答が、[解答1]でした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ルコウソウってたまに見かけます。
1度出会うと忘れられない花ですので、貴女も出会えるといいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
解き方によってはかなりの計算力を必要とする問題です。
解答を見られて参考になれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
もちろん、3次式と仮定して解くのも1つの方法と思います。
数学的帰納法による証明をつけておけば完璧です。
この問題をどうして思いつくかは、a(n+1)=p・a(n)+f(n) の形の漸化式で、
f(n) が簡単な形で、結構、解く甲斐があるものと念じていたら思いつきました。
答の設定には苦労しましたが……。