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[答461] 角の正接の値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答461] 角の正接の値


 A(1,1),B(49,-7),C(121,-11) を通る放物線 y=ax2+bx+c と y=√x の交点のうち、

 A 以外のものを D とします。 このとき、tan∠BDC=?


[解答1]

 まず、A(1,1),B(49,-7),C(121,-11) を通る2次関数 y=ax2+bx+c を求めます。

 AB の傾きは -1/6 だから、直線ABは y-1=-(1/6)(x-1) 、y=-x/6+7/6 になります。

 従って、A,B を通る2次関数は、y=a(x-1)(x-49)-x/6+7/6 と表され、

 これが C(121,-11) を通るので、-11=a(121-1)(121-49)-121/6+7/6 、a=1/1080 で、

 y=(x-1)(x-49)/1080-x/6+7/6=(x2-50x+49-180x+1260)/1080 、

 y=(x2-230x+1309)/1080 です。

 y=√x ≧0 と連立して、

 y=(y4-230y2+1309)/1080 、 y4-230y2-1080y+1309=0 、

 (y-1)(y+7)(y+11)(y-17)=0 、y=1,17 、A(1,1),D(289,17) です。

 BD の傾きは 1/10 ,CD の傾きは 1/6 だから、

 tan∠BDC=(1/6-1/10)/{1+(1/6)(1/10)}=4/61 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 A(α2,α),B(β2,β),C(γ2,γ) としておきます。

 すると,4点 A,B,C,D は y=ax2+bx+c 及び y2=x 上の点です。

 そこで,D(δ2,δ) とおけて,α,β,γ,δ は次の y の4次方程式の解になります。

 ay4+by2+c=y,ay4+by2-y+c=0。

 y3 の係数に注目すると,解と係数の関係より,α+β+γ+δ=0,δ=-α-β-γ。

 これより,D((-α-β-γ)2, -α-β-γ) となって,

 BD の傾きは (δ-β)/(δ2-β2)=1/(δ+β), CD の傾きは (δ-γ)/(δ2-γ2)=1/(δ+γ),

 |tan∠BDC|=|1/(δ+γ)-1/(δ+β)|/|1+{1/(δ+γ)}{1/(δ+β)}|=|β-γ|/|(δ+γ)(δ+β)+1|

  =|β-γ|/|(-α-β)(-α-γ)+1|=|β-γ|/|(α+β)(α+γ)+1| です。

 この問題では,α=1,β=-7,γ=-11,∠BDC<90゚ なので,

 D((-1+7+11)2,-1+7+11) ,D(289,17), tan∠BDC=|-7+11|/|(1-7)(1-11)+1|=4/61 となります。


[解答3]

 A,B,C は y2=x 上にあるので、 A,B,C,D は y/a=x2+bx/a+c/a と x=y2 の交点です。

 従って、この4点は 円 y/a+x=x2+y2+bx/a+c/a 上にありますので、

 円周角の定理により、∠BDC=∠BAC<90゚ です。

 AB の傾きは -1/6 ,AC の傾きは -1/10 だから、

 tan∠BAC={(-1/6)-(-1/10)}/{1+(-1/6)(-1/10)}=4/61 、tan∠BDC=4/61 です。

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Comments 16

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古い人  
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今日の花は白のホタルブクロですね。

私も先月三重県に山百合を見に行った時見てきました。

此の付近では自然に咲いて居るのは見たことが無いが。

三重県では白花が咲いてました。

真っ白でとても綺麗ですね。

ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます^^
ほんとに可愛いお花です。。小さな鐘を鳴らしたら
しあわせの音色が聞こえてきそうです^^
ナイスです。樹

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法3は目から鱗☆☆
放物線同士が...直交して交わるときは...
円周上の1~4点であると言えるんですねぇ♪
この発想はスマートでお気に入り♡
今日は何もなければ墓参予定です ^^

こっこちゃん  
No title

今日は

ホタルフクロ 白で 夢を貰えるような花ですね”

毎日暑いですね ☆

アキチャン  
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こんにちわ。
白いホタルブクロ、いいですね(o^-^o)
ナイス!

Yasuko  
No title

( ノ゚Д゚)こんにちわ
白いホタルブクロ清楚で美しいです( ;∀;) カンド

お盆に入り少し忙しくって(゚A゚;)アツー

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

この問題も手こずりました。私の解法は三つ。段々改良していった感じです。
(解法1)は,[解答1]と似た方針ですが,もっと素直な反面かなり面倒な方法で計算が大変でした。
(解法2)は,[解答2]です。ただし,やどかりさんとの議論で[解答2]の方が若干一般的です。
この解法の利点は,一般的に D の座標が簡単に求まることだと思います。
ただ,[解答3]のように,この問題では D の座標は必要ないんですね。
(解法3)は,[解答3]と同じです。(解法2)の結果から ∠BDC = ∠BAC に気付き,
したがって A,B,C,D の4点が同一円周上にあることに気付いてできた解法です。
式を何倍かして足したり引いたりして変形する手法は結構よく使うのですが,
残念ながら,今回はなかなか気付きませんでした。まだまだ修行が足りません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
もうこの時期には平地では咲いていませんが、金剛山で見つけました。
小ぶりですが綺麗に咲いていたので撮りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
平地では梅雨時の花ですが、金剛山で見ました。
しあわせの音色が聞こえるのは、
このホタルブクロのような真っ白な心が必要ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
いつも[解答3]のように、
発想が計算の省略につながる解き方があれば数学は楽しいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この時期には見られないと思っていた花が金剛山に残っていました。
小さい花でしたが真っ白で目を引きました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私は自生しているホタルブクロは白しか見たことがありません。
西日本は白のようですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
お盆です。ご先祖様のお陰で今あるのですね。
ホタルブクロは久しぶりに見ました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]に気づけばこの問題の出題意図が分かって頂けると思います。
∠BDC=∠BAC に気付いた方は他にもおられましたが、
貴殿以外にはこの解答はありませんでした。

ニリンソウ  
No title

ホタルブクロがまだ見れましたか!
お盆です墓参り、親戚廻りで忙しくして帰ってきました
天気が不安定で土砂降りに遭いました。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この前訪れた金剛山にはまだホタルブクロが咲いていました。
ところで、天候不順ですね。
昨夜こちらでも一時的にかなりの雨が降りました。