[答461] 角の正接の値

[答461] 角の正接の値


　A(1，1)，B(49，－7)，C(121，－11) を通る放物線 y＝ax²＋bx＋c と y＝√x の交点のうち、

　A 以外のものを D とします。 このとき、tan∠BDC＝？


[解答1]

　まず、A(1，1)，B(49，－7)，C(121，－11) を通る２次関数 y＝ax²＋bx＋c を求めます。

　AB の傾きは －1/6 だから、直線ABは y－1＝－(1/6)(x－1) 、y＝－x/6＋7/6 になります。

　従って、A，B を通る２次関数は、y＝a(x－1)(x－49)－x/6＋7/6 と表され、

　これが C(121，－11) を通るので、－11＝a(121－1)(121－49)－121/6＋7/6 、a＝1/1080 で、

　y＝(x－1)(x－49)/1080－x/6＋7/6＝(x²－50x＋49－180x＋1260)/1080 、

　y＝(x²－230x＋1309)/1080 です。

　y＝√x ≧0 と連立して、

　y＝(y⁴－230y²＋1309)/1080 、 y⁴－230y²－1080y＋1309＝0 、

　(y－1)(y＋7)(y＋11)(y－17)＝0 、y＝1，17 、A(1，1)，D(289，17) です。

　BD の傾きは 1/10 ，CD の傾きは 1/6 だから、

　tan∠BDC＝(1/6－1/10)/{1＋(1/6)(1/10)}＝4/61 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

　A(α²，α)，B(β²，β)，C(γ²，γ) としておきます。

　すると，４点 A，B，C，D は y＝ax²＋bx＋c 及び y²＝x 上の点です。

　そこで，D(δ²，δ) とおけて，α，β，γ，δ は次の y の４次方程式の解になります。

　ay⁴＋by²＋c＝y，ay⁴＋by²－y＋c＝0。

　y³ の係数に注目すると，解と係数の関係より，α＋β＋γ＋δ＝0，δ＝－α－β－γ。

　これより，D((－α－β－γ)²， －α－β－γ) となって，

　BD の傾きは (δ－β)/(δ²－β²)＝1/(δ＋β)， CD の傾きは (δ－γ)/(δ²－γ²)＝1/(δ＋γ)，

　|tan∠BDC|＝|1/(δ＋γ)－1/(δ＋β)|/|1＋{1/(δ＋γ)}{1/(δ＋β)}|＝|β－γ|/|(δ＋γ)(δ＋β)＋1|

　 ＝|β－γ|/|(－α－β)(－α－γ)＋1|＝|β－γ|/|(α＋β)(α＋γ)＋1|　です。

　この問題では，α＝1，β＝－7，γ＝－11，∠BDC＜90ﾟ なので，

　D((－1＋7＋11)²，－1＋7＋11) ，D(289，17)， tan∠BDC＝|－7＋11|/|(1－7)(1－11)＋1|＝4/61　となります。


[解答3]

　A，B，C は y²＝x 上にあるので、 A，B，C，D は y/a＝x²＋bx/a＋c/a と x＝y² の交点です。

　従って、この４点は 円 y/a＋x＝x²＋y²＋bx/a＋c/a 上にありますので、

　円周角の定理により、∠BDC＝∠BAC＜90ﾟ です。

　AB の傾きは －1/6 ，AC の傾きは －1/10 だから、

　tan∠BAC＝{(－1/6)－(－1/10)}/{1＋(－1/6)(－1/10)}＝4/61 、tan∠BDC＝4/61 です。

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