[答461] 角の正接の値
[答461] 角の正接の値
A(1,1),B(49,-7),C(121,-11) を通る放物線 y=ax2+bx+c と y=√x の交点のうち、
A 以外のものを D とします。 このとき、tan∠BDC=?
[解答1]
まず、A(1,1),B(49,-7),C(121,-11) を通る2次関数 y=ax2+bx+c を求めます。
AB の傾きは -1/6 だから、直線ABは y-1=-(1/6)(x-1) 、y=-x/6+7/6 になります。
従って、A,B を通る2次関数は、y=a(x-1)(x-49)-x/6+7/6 と表され、
これが C(121,-11) を通るので、-11=a(121-1)(121-49)-121/6+7/6 、a=1/1080 で、
y=(x-1)(x-49)/1080-x/6+7/6=(x2-50x+49-180x+1260)/1080 、
y=(x2-230x+1309)/1080 です。
y=√x ≧0 と連立して、
y=(y4-230y2+1309)/1080 、 y4-230y2-1080y+1309=0 、
(y-1)(y+7)(y+11)(y-17)=0 、y=1,17 、A(1,1),D(289,17) です。
BD の傾きは 1/10 ,CD の傾きは 1/6 だから、
tan∠BDC=(1/6-1/10)/{1+(1/6)(1/10)}=4/61 です。
[解答2] uch*n*anさんの解答より
A(α2,α),B(β2,β),C(γ2,γ) としておきます。
すると,4点 A,B,C,D は y=ax2+bx+c 及び y2=x 上の点です。
そこで,D(δ2,δ) とおけて,α,β,γ,δ は次の y の4次方程式の解になります。
ay4+by2+c=y,ay4+by2-y+c=0。
y3 の係数に注目すると,解と係数の関係より,α+β+γ+δ=0,δ=-α-β-γ。
これより,D((-α-β-γ)2, -α-β-γ) となって,
BD の傾きは (δ-β)/(δ2-β2)=1/(δ+β), CD の傾きは (δ-γ)/(δ2-γ2)=1/(δ+γ),
|tan∠BDC|=|1/(δ+γ)-1/(δ+β)|/|1+{1/(δ+γ)}{1/(δ+β)}|=|β-γ|/|(δ+γ)(δ+β)+1|
=|β-γ|/|(-α-β)(-α-γ)+1|=|β-γ|/|(α+β)(α+γ)+1| です。
この問題では,α=1,β=-7,γ=-11,∠BDC<90゚ なので,
D((-1+7+11)2,-1+7+11) ,D(289,17), tan∠BDC=|-7+11|/|(1-7)(1-11)+1|=4/61 となります。
[解答3]
A,B,C は y2=x 上にあるので、 A,B,C,D は y/a=x2+bx/a+c/a と x=y2 の交点です。
従って、この4点は 円 y/a+x=x2+y2+bx/a+c/a 上にありますので、
円周角の定理により、∠BDC=∠BAC<90゚ です。
AB の傾きは -1/6 ,AC の傾きは -1/10 だから、
tan∠BAC={(-1/6)-(-1/10)}/{1+(-1/6)(-1/10)}=4/61 、tan∠BDC=4/61 です。
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