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[答462] ヘロンの三角形

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答462] ヘロンの三角形


 x を自然数として、3辺の長さが 60,55,x である三角形の面積 S も自然数であれば、 x=?


[解答]

 ヘロンの公式により、16S2=(115+x)(115-x)(x+5)(x-5) が 16の倍数だから、x は奇数になります。

 16S2=(1152-x2)(x2-52) だから、 GCD(1152-x2,x2-52)=4g とすれば、

 互いに素な自然数 a,b を用いて、 1152-x2=4ga2 ,x2-52=4gb2 と表されます。

 よって、1152-52=4g(a2+b2) 、g(a2+b2)=3300 です。

 ここで、n2 を 3で割った余りは n が3の倍数であれば 0 ,その他の場合は 1 だから、

 a2+b2 が3の倍数になるのは、a,b の両方が3の倍数のときで、

 互いに素な a,b に対しては3の倍数にはなりません。

 また、n2 を 11で割った余りは n が11の倍数であれば 0 ,その他の場合は 1,4,9,5,3 だから、

 a2+b2 が11の倍数になるのは、a,b の両方が11の倍数のときで、

 互いに素な a,b に対しては11の倍数にはなりません。

 従って、g(a2+b2)=3300 より、 g は 33の倍数,a2+b2 は 100の約数です。

 以上により、(a,b,g) は次の9通りだけになります。

 (1,1,1650),(1,2,660),(2,1,660),(1,3,330),(3,1,330),(1,7,66),(7,1,66),(3,4,132),(4,3,132)

 x2=4gb2+25 だから、x2=6625,10585,2665,11905,1345,12961,289,8473,4777 、

 x2=289 のときだけ x=17 (自然数) になります。


☆ 3辺すべてと面積が自然数である三角形を「ヘロンの三角形」といいます。

☆ 本問は、面積が 462 ,各辺に対する高さは 2・462/60=77/5 ,2・462/55=84/5 ,2・462/17=924/17 で、

 どの高さも自然数にならない例です。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

( ノ゚Д゚)こんにちわ
蓮の花綺麗です~✿
今日のお花にピッタリです(o^-^o)
朝からお花参りに行って来ました(゚A゚;)アツーかったわ

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしもヘロンの公式をれいのところで溶かしてもらったという...お粗末でしたぁ...^^;...直角三角形に分解する方法も考えてみたけど...ややこしくなるだけに思えて断念...解答は勉強になりましたぁ☆

uch*n*an  
No title

この問題もいまひとつうまく解けませんでした。ただ,なかなかいい線は行っていたようです。
また,辺も面積も自然数の三角形をヘロンの三角形というのも初めて知りました。
私の解法は二つ。
(解法1)は,ヘロンの公式から
(x + 115)(x - 5)(x + 5)(115 - x) = 16S^2
x = 2n + 5 とおいて
n(n + 5)(n + 60)(55 - n) = S^2,n = 1 ~ 54
これを n を順番にチェックするという解法でした。
面倒ですが頑張れば目の子でも何とかなる高々 54 個のチェックなので,まぁこんなものかなと。

uch*n*an  
No title

(解法2)は,やはりヘロンの公式から
(x + 115)(x - 5)(x + 5)(115 - x) = 16S^2
...
(x^2 - 6625)^2 + 16S^2 = 43560000 = 6600^2
x = 2t + 5,1 <= t <= 54 とおいて,
(t^2 + 5t - 1650)^2 + S^2 = 1650^2
ピタゴラス数になり,k,m,n を自然数,m,n は m > n で互いに素,として,
1650 = k(m^2 + n^2),k(m^2 + n^2) = 1650 = 2 * 3 * 5^2 * 11
これから可能な k,m,n を探す,という解法でした。
これは,[解答]と等価な内容になっていますが,3,11 で割った余りに注目しなかったので,
詰めの部分が大変になりました。もうちょっとだったな,と思うと残念。

なお,☆は分かる人には分かる話ですが,ピンと来ない人もいそうなので,
念のために,私の鍵コメとやどかりさんのリコメを書いておきます。

uch*n*an  
No title

x の辺を底辺としたときの三角形の高さを h,
この高さを与える垂線の足までの 60,55 の辺の端の頂点から x の辺上の距離を y,z とすると,
S = xh/2,h = 2S/x,
y + z = x,y^2 + h^2 = 60^2,z^2 + h^2 = 55,(y - z)(y + z) = 575,y - z = 575/x,
y = (x + 575/x)/2,z = (x - 575/x)/2,
y^2 + h^2 = 60^2,((x + 575/x)/2)^2 + (2S/x)^2 = 60^2,
(x^2 + 575)^2 + (4S)^2 = 60^2 * (2x)^2,
x^4 - 13250x^2 + 330625 + (4S)^2 = 0,
(x^2 - 6625)^2 + (4S)^2 = 43560000 = 6600^2
となって,(解法2)と同じ式になります。

uch*n*an  
No title

この際,
60,55,x,h = 2S/x,y = (x + 575/x)/2,z = (x - 575/x)/2
をそれぞれを 2x 倍すれば,
120x,110x,2x^2,2xh = 4S,2xy = 2x^2 + 575,2xz = 2x^2 - 575
となって,確実にいずれも整数になります。
これは,ヘロンの三角形で一般にいえるようです。このことは,
ヘロンの三角形は,一般に,三辺をピタゴラス数とする二つの直角三角形から構成できる,
ということを表していると思われます。
この問題では,x = 17 で,17 倍で,
432,924,1020 と 143,924,935 の二つの直角三角形,に分割できるようです。
この構成法も絡めて何かうまく解けないかな,とふと思いました。

uch*n*an  
No title

やどかりさんのリコメ

uch*n*anさん、更なる解答を有難うございます。
> ヘロンの三角形は,一般に,三辺をピタゴラス数とする二つの直角三角形から構成できる,
> ということを表していると思われます。
ヘロンの三角形においては、どの辺を底辺にしても高さは有理数であり、
余弦定理よりどの角の cos の値も有理数だから、
1つの高さを描けば、2つのピタゴラス三角形を何倍かしてくっつけたものになります。
本題では、高さがどれも自然数にならないようなものを見つけて出題しました。

スモークマン  
No title


>uch*n*anさんへ ^^
さいしょ...直角三角形に分解できるなら...
(1) 60^2=(x+a)^2+b^2, 55^2=a^2+b^2
(2) 60^2=h^2+a^2, 55^2=h^2+b^2,a+b=x
のいずれかになるはずと思って考えたりしてましたが...
上手くいきませんでしたぁ...^^;...

uch*n*an  
No title

>さいしょ...直角三角形に分解できるなら...
>...
>のいずれかになるはずと思って考えたりしてましたが...
>上手くいきませんでしたぁ...^^;...
一般に,全体を何倍かしないと,
ピタゴラス数を辺や高さとする直角三角形にはならないので,
単純にはいかないですよね。
やどかりさんがどの高さも整数にならない三角形を選んだのもここらを考えてのことでしょう。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
ご返事いただきありがとうございます Orz~
そうですね...☆
で...途中でそれに気がついて...
m^2 倍も考えたりしたんですけど...挫折してしまいましたぁ...^^;;...

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
お盆に合わせて朝に撮ったハスの花にしました。
光が十分当たらない時間帯のハスには心が洗われます。
なお、ヘロンは古代ギリシャの数学者の名前です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
お盆に合わせて蓮の写真を使いました。
これを見て落ち着くのはやはり日本人だからでしょうか。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
お釈迦様の時代には、ブログに蓮の花をアップするなんて、
考えられなかったことでしょう。
でも、その時代から、蓮の花の美しさは変わらないのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
朝日の当たらないうちに撮ったらお盆らしくなりました。
豪雨については、北大阪はひどかったようなのですが、
南大阪は一時的なもので、大したことはありませんでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
> PCの腕力にすがりました。
これが一番強力な解き方です。
もっと沢山を調べる場合、どれだけ絞れるかが、
プログラムの実行時間に影響しますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
お盆に蓮の花は不思議と合いますね。
お墓参り、私は昨日すませましたが、昨日も非常に蒸し暑い朝でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとuch*n*anさんとのやりとりを有難う御座います。
この問題は、方程式を作るまでは簡単ですが、それを解くのが面倒ですね。
うまく絞るか、PCの力を使うかのどちらかですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解説を有難う御座います。
ヘロンの公式を使っても、2つの直角三角形にしても同じような式しか出ませんね。
最後に如何に絞るかを問う問題でしたが、
その流れを詳しく説明して頂いたことに感謝です。

ひとりしずか  
No title

蓮の花神秘的に撮れていますね・・・
今日はお盆の中日?
心惹かれる花です~
ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
お盆にはやはり蓮と思って載せました。
蓮の何ともいえない色合いが好きです。