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[答463] 回転体の体積比

ヤドカリ

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[答463] 回転体の体積比


 △ABC を、辺 BC,CA,AB の周りに回転してできる回転体の体積比が、3:2:4 であるとき、

 3辺の長さの比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 △ABC=S とし、辺 BC,CA,AB を底辺とするときの高さをそれぞれ a,b,c とすれば、

 aBC=2S,bCA=2S,cAB=2S であり、体積はそれぞれ、πa2BC/3,πb2CA/3,πc2AB/3 です。

 πa2BC/3:πb2CA/3:πc2AB/3=3:2:4 、a2BC:b2CA:c2AB=3:2:4 、

 a2BC2/BC:b2CA2/CA:c2AB2/AB=3:2:4 、4S2/BC:4S2/CA:4S2/AB=3:2:4 、

 1/BC:1/CA:1/AB=3/12:2/12:4/12 、逆数をとって、BC:CA:AB=4:6:3 になります。


[解答2]

 パップス・ギュルダンの定理より、

 これらの回転体の体積は、△ABC の面積とその重心の移動距離を掛けたものだから、

 △ABC の重心と 辺 BC,CA,AB の距離の比が 3:2:4 であることになります。

 この距離を 3k,2k,4k とすれば、

 △GBC=△GCA=△GAB だから、3kBC=2kCA=4kAB になり、12k で割れば、

 BC/4=CA/6=AB/3 になり、BC:CA:AB=4:6:3 になります。

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Comments 17

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アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色いのはそんなに見かけません。
2つ並んできれいですね(o^-^o)ナイス!

古い人  
No title

綺麗なスイレンですね。

此のスイレンは熱帯スイレンでしょうね。

黄色がとても綺麗です。

日本のスイレンは色が赤か白色くらいですね。

ナイス。

ニリンソウ  
No title

少し小さ目な睡蓮かなと思いました

水辺に咲く花は見てるだけでも涼しさ感じますね
今日も朝から厳しい暑さです。

ナイス

uch*n*an  
No title

これは簡単な問題でした。一応,中学数学の範囲と思われますが,受験算数では出題されそう。
私の解法は[解答1]でした。
検算でパップス・ギュルダンの定理を使った[解答2]でも解いていましたが,
この程度でご登場願う必要もあるまい,と思って,解答としてはまとめませんでした。

Yasuko  
No title

こんにち▼・。・▼」」」」ーワンワン!!
黄色の
睡蓮がとっても綺麗です~✿
今日も厳しい暑さ、出かける事も多くて参っています(゚A゚;)アツー

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
そっか...わたしゃパップスで...^^;...
重心の高さ(=底辺に反比例)に比例するからと考えたのですが...
三角錐の体積になるから...パップスにお出まししていただかなくってもよかったんだぁ...Orz~
対戦表と悪戦中...^^;;

ひとりしずか  
No title

スイレンこちらではあまり見かけることがない花で・・・
こういう色もあるんですね~

ナイス!

tsuyoshik1942  
No title

ここ最近で、すっきり解けた数少ない中の一問です。
それにしても、両者にすっきりした相関があったのですね!

樹☆  
No title

こんにちは。
今日は薄いクリーム色ですが鮮やかな色ですね。
すごくきれいです。
バンコクで涅槃像を観る途中にこんな色の睡蓮が
咲いていて嬉しかったのを思い出しました。
ナイスです。樹

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色の睡蓮が2つ並んで咲いていて思わずカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、熱帯スイレンだと思います。
撮影の時はそんなことは意識しないで、綺麗なので撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
残暑が厳しいので、水辺は見た目にも涼しく感じるのでしょうね。
仰る通り、小さめの睡蓮でした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
受験算数では、円錐の体積の求め方は断り書きがあるかも知れませんね。
感覚が良い受験生は、1/3:1/2:1/4 だと分かるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
この睡蓮は堺市の都市緑化センターで見ました。
ところで、暑さが戻り、出かけるのは大変ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
パップスが何とか問題にならないかと考えて作問しました。
作ってから、改めて解くと割に簡単でした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
睡蓮は白とピンクをよく見かけます。
貴女もこのような色の睡蓮にも出会えたらいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
薄い黄色は柔らかな感じがしますね。ソフトクリーム?
バンコクの涅槃像を思い出されたのはお盆との関係かも知れませんね。