[答464] 正方形の1辺の長さ
[答464] 正方形の1辺の長さ
図のように、正方形ABCDがあり、辺BC,DC上に BP=3,DQ=1 となる点P,Qをとると、
∠PAQ=45゚ になりました。このとき、正方形ABCDの1辺の長さ a は?
[解答1]
∠BAP=α,∠DAQ=β とすれば、tanα=3/a,tanβ=1/a です。
tan(α+β)=1 より、(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1 、tanα+tanβ=1-tanαtanβ 、
4/a=1-3/a2 、a2-4a-3=0 、a=2+√7 です。
[解答2]
右上図のように、△ARB≡△AQD となるように点Rをとると、△ARP≡△AQP となって、PQ=PR=4 です。
△CQP に三平方の定理を適用して、
(a-3)2+(a-1)2=16 、2a2-8a-6=0 、a=2+√7 です。
[解答3]
左下図のように、∠BAP+∠DAQ=∠PAQ,AB=AD だから、
BのAPに関して対称な点と、DのAQに関して対称な点は一致し、これをRとします。
また、∠ARP+∠ARQ=∠ABP+∠ADQ=180゚ だから、P,R,Q は一直線上にあります。
△CQP に三平方の定理を適用して、
(a-3)2+(a-1)2=16 、2a2-8a-6=0 、a=2+√7 です。
[解答4]
右下図のように、△ABP≡△PML となるように点L,Mをとり、長方形ABMKを作ると、
△PLAは直角二等辺三角形になって、A,Q,Lは1直線上に並びます。
このとき、KL=a-3,AK=BM=3+a になり、△ADQ∽△AKL だから、
AD:AK=DQ:KL 、a:(3+a)=1:(a-3) 、a2-3a=3+a 、a=2+√7 です。
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