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[答464] 正方形の1辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答464] 正方形の1辺の長さ


 図のように、正方形ABCDがあり、辺BC,DC上に BP=3,DQ=1 となる点P,Qをとると、

 ∠PAQ=45゚ になりました。このとき、正方形ABCDの1辺の長さ a は?


[解答1]

 ∠BAP=α,∠DAQ=β とすれば、tanα=3/a,tanβ=1/a です。

 tan(α+β)=1 より、(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1 、tanα+tanβ=1-tanαtanβ 、

 4/a=1-3/a2 、a2-4a-3=0 、a=2+√7 です。


[解答2]

 右上図のように、△ARB≡△AQD となるように点Rをとると、△ARP≡△AQP となって、PQ=PR=4 です。

 △CQP に三平方の定理を適用して、

 (a-3)2+(a-1)2=16 、2a2-8a-6=0 、a=2+√7 です。


[解答3]

 左下図のように、∠BAP+∠DAQ=∠PAQ,AB=AD だから、

 BのAPに関して対称な点と、DのAQに関して対称な点は一致し、これをRとします。

 また、∠ARP+∠ARQ=∠ABP+∠ADQ=180゚ だから、P,R,Q は一直線上にあります。

 △CQP に三平方の定理を適用して、

 (a-3)2+(a-1)2=16 、2a2-8a-6=0 、a=2+√7 です。


[解答4]

 右下図のように、△ABP≡△PML となるように点L,Mをとり、長方形ABMKを作ると、

 △PLAは直角二等辺三角形になって、A,Q,Lは1直線上に並びます。

 このとき、KL=a-3,AK=BM=3+a になり、△ADQ∽△AKL だから、

 AD:AK=DQ:KL 、a:(3+a)=1:(a-3) 、a2-3a=3+a 、a=2+√7 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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オクラ大好きです~

綺麗な花咲かせるんですよね~
ナイス!

ひとりしずか  
No title

蕊が変わってますね・・

ニリンソウ  
No title

オクラか トロロアオイですね
優しい黄色ですね。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
オクラのお花は観賞用でも十分通用しますね(o^-^o)
好きなお花です♪ナイス!

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
お野菜のお花も可愛い花が沢山ありますよねぇ~✿
オクラも美しい花色をしています~好きですヘ(゚∀゚ヘ)ヘ(゚∀゚ヘ)ヘ(゚∀゚ヘ)ポー!!

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

これは算数でよく見るパターンの問題です。もっとも今回は算数問題ではないですが。
実際,[解答2],[解答3],[解答4]はいずれも算数で考える際の手法です。
ただし,三平方の定理は算数ではないので,適宜,面積などを使うことになります。
とはいえ,tan の加法定理を知っていれば[解答1]が一番楽でしょう。
私の解法は四つ。
(解法1)は[解答2]と同じ。
(解法2)も考え方は同じですが,三平方の定理の代わりに面積を使いました。
(解法3)は右上の図を基にしましたが,[解答4]と方針は同じ。
(解法4)は[解答3]の面積バージョンです。
なお,[解答4]の図は算数で tan(α+45°) を解釈するときに使うものですね。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ブログ復帰しました。
またよろしくお願いいたします。

何のお花ですか?
ハイビスカスに似ていますね。
私のところでは見られないお花だわ~~
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
どうも...tanの加法定理が使えるようになってしまったので...算数で考える方向に行かなかったですが...示されてみると案外スムースに行くものですね☆

tan(α+45°) を示すときの図が[解答4]なんだぁ...☆
tan(α+45°)=(a+3)/(a-3)=(1+3/a)/(1-3/a)
3/a=tanα
ってことなのね ^^

で...これ使って...
tan(90°-α)=1/a だから...
図形的に...
1/tan(45+α)=tan(90-α) なので...
(a-3)/(a+3)=1/a
a(a-3)=a+3
a^2-4a=3
(a-2)^2=3+4=7
a=2+√7

でもいいですね♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オクラは健康にも良いそうですね。
新鮮なものが手に入るのはいいですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花が後ろに写っているオクラになるのは不思議な気がします。
仰る通り、優しい色です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花も食べられるのですか。言われてみれば当然の気がします。
実の方は貴女の名前アイコンのような色ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花も私の好きな花の1つです。
優しい色ですが、仰る通り、蕊は変わっています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、優しい色ですね。
後ろに写っている実をみれば間違いなくオクラです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も、観賞用に十分通じると思います。
健康には、食用ですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
野菜の花もなかなかいいものが沢山あると私も思います。
季節が違いますが、ダイコンの花も素敵です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
このような問題は解法がいくつもあり、まとめきれません。
仰る通り、tan の加法定理がいちばん楽ですね。
[解答4]の図は tan の加法定理とも解釈できますが、
45°に対しては直角二等辺三角形を描けばなんとかなるという解法でもあります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この花は、オクラの花です。
後ろの実をご覧になれば分かるかと思います。
ところで、ブログに復帰なのですね。後ほどよせて頂きます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
このような単純な問題はいろんな解法があります。
DQ=2 にすると直感でもわかりますね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
たしかに...DQ=2 のときは...PQ=5 から...3:4:5 を連想できちゃうし...
つまり...a=6
実際に...(3/6+1/3)/(1-(3/6)(1/3)=(5/6)/(5/6)=1 になるから...45°
になれるのね♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ちょっと数値を変えるだけで問題が大きく変貌することもありますし、
問題によっては解けなくなることもあります。
数学って不思議ですね。