[答464] 正方形の１辺の長さ

[答464] 正方形の１辺の長さ


　図のように、正方形ABCDがあり、辺BC，DC上に BP＝3，DQ＝1 となる点P，Qをとると、

　∠PAQ＝45ﾟ になりました。このとき、正方形ABCDの１辺の長さ a は？


[解答1]

　∠BAP＝α，∠DAQ＝β とすれば、tanα＝3/a，tanβ＝1/a です。

　tan(α＋β)＝1 より、(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)＝1 、tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ 、

　4/a＝1－3/a² 、a²－4a－3＝0 、a＝2＋√7 です。


[解答2]

　右上図のように、△ARB≡△AQD となるように点Rをとると、△ARP≡△AQP となって、PQ＝PR＝4 です。

　△CQP に三平方の定理を適用して、

　(a－3)²＋(a－1)²＝16 、2a²－8a－6＝0 、a＝2＋√7 です。


[解答3]

　左下図のように、∠BAP＋∠DAQ＝∠PAQ，AB＝AD だから、

　BのAPに関して対称な点と、DのAQに関して対称な点は一致し、これをRとします。

　また、∠ARP＋∠ARQ＝∠ABP＋∠ADQ＝180ﾟ だから、P，R，Q は一直線上にあります。

　△CQP に三平方の定理を適用して、

　(a－3)²＋(a－1)²＝16 、2a²－8a－6＝0 、a＝2＋√7 です。


[解答4]

　右下図のように、△ABP≡△PML となるように点L，Mをとり、長方形ABMKを作ると、

　△PLAは直角二等辺三角形になって、A，Q，Lは１直線上に並びます。

　このとき、KL＝a－3，AK＝BM＝3＋a になり、△ADQ∽△AKL だから、

　AD：AK＝DQ：KL 、a：(3＋a)＝1：(a－3) 、a²－3a＝3＋a 、a＝2＋√7 です。

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