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[答465] 7人で4試合の対戦の仕方

ヤドカリ

ヤドカリ



[答465] 7人で4試合の対戦の仕方


 上の表は、対戦しないところに×印をつけた、7人が4試合ずつ対戦する対戦表の一例です。

 このような、7人が4試合ずつ対戦する対戦表は全部で何通り?

 もちろん、同じ相手との2回以上の対戦はありません。


[解答1]

 この対戦表の対戦しない者どうしをつなぐと左下図になります。

 このような図は7個の数珠順列で、6!/2=360 通りあります。

 また、右下図のように、3人と4人に分かれることもあり、

 分け方は、73=35 通りあります。

 よって、そのようなつなぎ方は、35・(2!/2)・(3!/2)=105 通りあります。

 従って、360+105=465 通りです。


[解答2] tsuyoshik1942さんの解答より

 n人が (n-3)人と対戦する、すなわち、2人と対戦しない方法を an 通りとします。

 ここに1人を加えて対戦表を作る場合、

 n人で対戦しない2人を対戦させ、加える1人をその2人と対戦させない場合が n・an 通り、

 加える1人ともとのメンバーの2人の3人を対戦しないグループを作る場合、

 n-2 人の中で対戦しない人を決める方法が n2・an-2 通りだから、

 an+1=n・an+{n(n-1)/2}・an-2 になります。

 a3=1,a4=3,a5=12 を確かめておけば、

 a6=5・a5+{5(5-1)/2}・a3=5・12+10・1=70 、

 a7=6・a6+{6(6-1)/2}・a4=6・70+15・3=465 になり、 以下、

 a8=7・a7+{7(7-1)/2}・a5=7・465+21・12=3507 、

 a9=8・a8+{8(8-1)/2}・a6=8・3507+28・70=30016 、

 a10=9・a9+{9(9-1)/2}・a7=9・30016+36・465=286884 以下の値は、

 a11=3026655 ,a12=34944085 ,a13=438263364 ,a14=5933502822 ,a15=86248951243 ,

 a16=1339751921865 ,a17=22148051088480 ,a18=388246725873208 ,a19=7193423109763089 ,

 a20=140462355821628771 ,a21=2883013994348484940 ,a22=62053912734368432430 ,

 a23=1397632884350901759561 ,a24=32874958880640907159723 ,a25=806125893050067459184032 ,

 a26=20572437191556957007469100 ,a27=545567728616689177021106575 ,

 a28=15013278861111181457743472757 ,a29=428148189369521610565640556996 ,

 a30=12637797989534502512274145422334 ……… と続きます。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
なんでしょう?(o^-^o)

古い人  
No title

今日の植物は何でしょう有刺鉄線の様な植物ですね。

刺の鋭い物は有りますが之は何でしょう。

ナイス。

ニリンソウ  
No title

幾何学模様の植物は何かな??
普段踏んづけてる小さな草なんでしょう。

この問題も面白い・・誰か解けるでしょうか
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはずいぶん考えたのですが...気づけませんでしたぁ ^^;
解答を見てなるほどです☆
2試合の場合は両腕で和ができるからと理解しましたが...
もし...3試合だったら...きっとややこしいことになるんでしょうねぇ...?
Orz~

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆
あら~~なんでしょう?
分かりません(゚∀゚)アヒャ

ナイス!3個目デス

uch*n*an  
No title

これは,考え方によっては少し考え込む問題でした。個人的には対戦表が考えづらかったです,
私の解法は四つ。
(解法1)は,7人を点で表し対戦相手を線で結んだグラフで考える解法です。
地道ですが自然に浮かんだ解法で,この程度ならば面倒でもなくスンナリと。
(解法2)は,[解答2]と同様の漸化式で,対戦表を基に考えました。
求める場合の数を f(n) 通り,ある2人には×を一つだけ付ける場合の数を g(n) 通り,とすると,
f(n) = (n-1)C2 * g(n-1),g(n) = (n-2) * g(n-1) + f(n-2),
f(1) = 0,f(2) = 0,g(1) = 0,g(2) = 1
がいえます。当然ですが,この式から g を消して f だけの式を作れば[解答2]と一致します。
(解法3)及び(解法4)は,[解答1]と等価な解法で,
(解法3)はグラフを基に,(解法4)は対戦表を基に考えたものです。
[解答1]を見る限りでは,結局は,グラフ的に考える感じになりますね。

ヤドカリ  
No title


写真の花は、堺市の浜寺周辺でしか見られない「ハマデラソウ」という植物です。
夏から秋にかけて茎の先にツノ状の白い5ミリ程度の花が咲きます。
北米南部原産のヒユ科の1年草で、米国からの船に付着した種が、
浜寺近辺にたどり着いて芽を出し、帰化したそうです。
この写真は浜寺公園で撮りました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
写真の花は上に書きましたように、ハマデラソウです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
堺市の浜寺近くにしか咲きませんので、分からなくて当然です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
トゲのように見えるのは花です。
堺市の6つの小中学校でも育てられているそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花については名前は上記の通りです。
この問題、5名の方が正解してくれましたよ。

tsuyoshik1942  
No title

最初は細かく区分けし、数え上げました。実際には間違っていたかもしれませんが、見えていた答「465」が出てきたので良しとしました。
ただ何かあるはずと再考し、解2に思い当たりました。この論理は自分では納得できたのですが、すっきりした筋道ではないので、紹介されることはないと思っていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
3人と対戦しない場合だったら、複雑すぎます。
私は、少し考えて、諦めました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この植物はほとんど知られていませんね。
浜寺公園の薔薇園か堺市都市緑化センターに行く機会があれば見て下さい。
珍しいだけですが。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題、[解答1]にたどり着けば割に簡単ですね。
その発想が出来るかどうかの問題です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
順に計算すれば出来るということで、漸化式の解法を載せさせて頂きました。
漸化式自体はスッキリ解けないのですが、この方法もいいと思います。

uch*n*an  
No title

えと,
>3人と対戦しない場合だったら、複雑すぎます。
>私は、少し考えて、諦めました。
7人の場合だったら明らかに 0 通りでは? 私の勘違いかな?
一般に,奇数人なら 0 通り,偶数人は確かに面倒そうですが。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
3人と対戦しない場合、奇数人だったら仰る通り0通りです。
対戦表の×の数は偶数のはずですが、
一方、奇数人の3倍が奇数だからです。
偶数人の場合、たとえば8人の場合は、
立方体の頂点にA~Hを配置する方法が考えられますが、
それだけでいいのかどうか、
また、10人になるとどうすれば良いのか考える気になりませんでした。

tsuyoshik1942  
No title

他サイトで同じ問題が出題されていますね!
今回は「解答1」ですんなりゴールできました。その後、そのサイトの掲示板からここに飛び、「465」解答時、本解答欄閲覧時のことを思い出しました。
「解答2」は体裁を整え世に出していただいたのですが、簡単・明瞭な「解答1」に比し、落差が大きく、自分自身でも記憶に残っておりませんでした。しかし、今回、先のサイトの中で「解答2」に関しても議論されているのを目にし、うれしくなりました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
貴殿のアイデアをまとめただけですが、思いがけなく役立ちました。
このブログがお互いの勉強になっていることを嬉しく思います。
n人になると[解答1]では手に負えませんね。