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[答466] 直角二等辺三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答466] 直角二等辺三角形


 図のように、∠A が直角である直角二等辺三角形ABCの辺BC上に点Dをとって、

 ∠B,∠C が直角である直角二等辺三角形BED,CDFをつくり、

 EFに関してDと反対側にGをとって、EFを斜辺とする直角二等辺三角形GFE を作ります。

 BE=2 ,CF=12 とすれば、線分AGの長さは?


[解答1]

 左下図のように、B,G,F,C がそれぞれ AP,PQ,QR,RA 上にあるように、長方形APQRを描き、

 Eから AP,PQ におろした垂線の足をそれぞれ S,T とします。

 BC=BD+CD=BE+CF=2+12=14 だから AB=AC=BC/√2=7√2 、

 また、PT=SE=SB=BE/√2=√2 、RC=RF=CF/√2=6√2 になります。

 次に、△TGE≡△QFG より、TG=QF=x,SP=ET=GQ=y とすれば、

 AP=RQ より 7√2+√2+y=6√2+x 、x-y=2√2 となり、

 AR=PQ より 7√2+6√2=√2+x+y 、x+y=12√2 となりますので、

 連立方程式を解いて、x=7√2,y=5√2 になります。

 AP=7√2+√2+y=13√2,PG=√2+x=8√2 となって、

 AG=√{(13√2)2+(8√2)2}=√466 です。


[解答2]

 四角形DEGFは円に内接するから、トレミーの定理より、

 EF・DG=DE・FG+DF・EG 、EF・DG=(2√2)(EF/√2)+(12√2)(EF/√2)=14EF 、DG=14 になります。

 また、∠EDG=∠EFG=45゚ だから、DG⊥BC になります。

 ここで、右下図のように、AGを対角線とし、DGを辺の一部に含む長方形を描き、

 BCとのD以外の交点をHとすれば、 AH=CH=BC/2=(2+12)/2=7 、DH=12-7=5 だから、

 この長方形の2辺は 5,21 で、対角線の長さ AG=√(52+212)=√466 です。


[解答3]

 複素平面上で、E(0),B(-2),C(-2+14i),F(10+14i) とすれば、A(-9+7i) で、

 (10+14i){cos(-π/4)+i・sin(-π/4)}/√2=(10+14i)(1-i)/2=12+2i だから G(12+2i) です。

 AE=|(12+2i)-(-9+7i)|=|21-5i|=√(212+52)=√466 です。

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Comments 17

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古い人  
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今日の花は沼地などに生える水草。

ポンテデリア・コルタダですね。

ナガバミズアオイの一種ですね。

涼しげな花が綺麗ですね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

はじめてです~
これも奇麗ですね~
睡蓮のように水辺に咲くんですね・・
耐寒性があるようなので、こちらでも育ちそう~
ナイス!

アキチャン  
No title

おはようございます。
きれいですね~♪色がなんともいいですね(o^-^o)
ナイス!

アキチャン  
No title

この問題、解いてみようと思いましたが、やっぱり難しかったですf(^。^;

Yasuko  
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☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆

綺麗に咲いてますねぇ~✿
ポンテデリア・コルダタ~花の文化園で観ましたが涼しげなお花です

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

これは,いろいろな解法が考えられる楽しい問題でした。
しかし,DG には注目したのですが,[解答2]の黄色の長方形には気付かなかった。残念。
[解答2]のトレミーの定理の使い方もにくいですね。
私の解法は四つ。敢えていずれも中学数学の範囲でまとめました。
(解法1)は,[解答1]とほぼ同じ。
(解法2),(解法3)は,(解法1)のバリエーションですが,ET,TG 辺りを求めるのに,
(解法2)は,G から DF に垂線 GL を下ろし,□DEGF は円に内接,△EIG ≡ △FLG を使う解法,
(解法3)は,五角形BEGFC の面積に注目し DG を求め,△TDG ≡ △ABC を使う解法,です,
(解法4)も基本方針は(解法1)と同じですが,座標に近い考え方をする解法です。
なお,BE と CF ではなく DE と DF の長さを与えて数値を調整すれば,
算数問題になりそうですね。

ニリンソウ  
No title

これも知らない花ですよ、優しそうな涼しそうな花ですね。 暑いから植物園遠ざかっていますが
行って来ようかな。
昨日のは吾亦紅だったんですね、気が付かなくて

ナイス

スモークマン  
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グーテンターク ^^
同じく楽しませていただきましたぁ☆
ご子息の創作問ってのも栴檀は双葉より芳しだなぁ~って想いと...
トレミーの定理を使うなんてさすがに貴殿のお子さんだわ!! ってな思いと...それをヒントに推理しながらチャレンジしましたが...こんなシンプルな図は考え及ばず...^^;...
奇麗な図柄/意匠の問題グラッチェでした♪

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、ポンテデリアです。
水辺に咲き、しかも涼しげな色で夏に咲くのがいいですね。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
水辺といっても池の真ん中に咲くわけではありませんので、撮り易いです。
そちらでも見られるといいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
色が涼しい感じでいいですね。
問題は受験生なら簡単だったかも知れません。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花の文化園でも見られますが、この写真は浜寺公園で撮りました。
水辺に咲いて、色も涼しげですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
いろんな解き方があるので、まとめきれませんでしたが、
だいたい中学数学の範囲かと思います。
斜めの直角二等辺三角形を扱うとき、私は座標より複素平面と思って[解答3]を用意しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
昨日のワレモコウも今日のポンテデリアも浜寺公園で撮りました。
だんだん秋が近付いているのが、少し感じられます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
複雑な図を描くのは、解答に時間がかかります。
補助線はなるべく少なくというのが、解答方針です。

樹☆  
No title

こんばんは^^
難しい名前の花ですね。。ポンデリングなら知っていますが。。笑
涼しそうな花ですね。。ナイスです。。樹

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
水際に咲く、涼しそうな花です。
残暑の続く日に心が癒されます。