FC2ブログ

Welcome to my blog

[答467] 辺の長さと内接円の半径

ヤドカリ

ヤドカリ



[答467] 辺の長さと内接円の半径


 1辺の長さが自然数である正方形ABCDがあって、辺AB上に点P,辺AD上に点Q を、∠PCQ=45゚ になる

 ようにとれば、△APQ=322 で、その内接円の半径も自然数になりました。

 この条件に適する正方形ABCDの1辺の最短の長さは? また、そのときの△APQの内接円の半径は?


[解答]

 正方形ABCDの1辺の長さを a ,△APQの内接円の半径を r とします。

 また、CPに関してBと対称な点と、CQに関してDと対称な点は一致するから、それをRとします。

 AP+AQ+PQ=AP+AQ+PR+QR=AP+AQ+PB+QD=AB+AD=2a だから、

 △APQ=(AP+AQ+PQ)r/2=ar 、ar=322 になります。

 次に、AP=p,AQ=q とすれば、pq/2=322 、pq=644 です。

 AP+AQ-2r=PQ だから、(AP+AQ-2r)2=PQ2 、(p+q-2r)2=p2+q2

 pq-2pr-2qr+2r2=0 、pq+2r2=2pr+2qr≧2√(2pr・2qr)=4(√pq)r 、

 pq-4(√pq)r+4r2≧2r2 、(√pq-2r)2≧2r2

 √pq-2r≧(√2)r 、√pq≧(2+√2)r 、(2-√2)√pq≧2r 、

 r≦(2-√2)(√pq)/2=(2-√2)(√644)/2≒7.43 です。

 ar=322 だから、a が最小になるのは、a=46,r=7 のときです。


☆ AP+AQ+PQ=2a ,AP+AQ-PQ=2r より、AP+AQ=a+r 、p+q=53 となって、

 p,q は x2-53x+644=0 の解であり、(53±√233)/2 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

全草がソラニンを含み有毒であるため、
家畜が食べると場合によっては中毒死することがある。
英語でも"Apple of Sodom"(ソドムのリンゴ)、
"Devil's tomato" (悪魔のトマト)などという
悪名でも呼ばれている。と
ウィキペディアにありました
花からは想像つかないですね~
いろんな植物があるんですね~
ナイス!

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
葉と茎にとげが見えませんね、イヌホウズキです
青い実~黒い実になりますね
ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
紫色のヤマホロシにそっくりですよね。
一休みしていましたが、今、家のヤマホロシがまた咲きだしました(o^-^o)
ナイス!

Yasuko  
No title

お(~∇~* )ノ は(*~∇~*)ノ よっ( *~∇~)ノ
夏休みも、そろそろ終わりに~~暑さも終りになってほしいですね!
イヌホウズキに見えるのですが><

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,[464]が大分ヒントになっている問題でした。
私の解法は,[解答]と大筋同じ感じですが,
少し違う所もあるのでご参考までに書いておきますね。

uch*n*an  
No title

AD の延長上に BP = DR となる点 R をとると,
△CPB ≡ △CRD より CP = CR,∠PCQ = 45°= ∠RCQ,△CPQ ≡ △CRQ,PQ = RQ。
そこで,AB = a,AP = p,AQ = q,△APQ の内接円の半径を r とすると,
PQ = RQ = RD + DQ = BP + DQ = (a - p) + (a - q) = 2a - p - q,
△APQ = (AP + PQ + QA)r/2 = (p + (2a - p - q) + q)r/2 = ar = 322 = 2 * 7 * 23,
△APQ = (AP * AQ)/2 = pq/2 = 322,pq = 644 = 2 * 2 * 7 * 23,
a > max(p,q) = (p, q の小さくない方)。

uch*n*an  
No title

ここで,max(p,q) の最小は対称性から p = q = 2√161 > 24 なので,a > 24 となり,
ar = 2 * 7 * 23,a,r が自然数より,a の最小は 2 * 23 = 46,このとき r = 7,です。
つまり,
正方形ABCDの1辺の最短の長さは 46,そのときの△APQの内接円の半径は 7,
になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはなんとか解けましたけど...
因数分解して当てはめ、条件を満たさないものを除いただけ...^^;
って感じでしかわからず...Orz~
r の上限ってのが求められるんだぁ☆

uch*n*an  
No title

>r の上限ってのが求められるんだぁ☆
私の方法でもある程度は求められますが,かなり甘くなっています。
これは,PQ = p + q - 2r などを使ってしっかり詰めていないせいでしょう。
この問題では自然数という強い条件があったので,そこらはサボってしまいました (^^;
本当は[解答]のようにすべきですね。ただ,サボった分,手間が少し減っています。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ワルナスビ、繁殖力があって有害ですが、花は綺麗ですね。
この繁殖力、何かに役立たないかなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ウィキペディアで調べられたのですね。
嫌われ者ですが、花は綺麗です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
写真にトゲがちょっとしか写っていませんが、トゲだらけでした。
分かりにくい写真で申し訳ないです。葉の形からワルナスビです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この花はワルナスビですが、仰る通り、ヤマホロシにも似ていますね。
イヌホウズキにも似ています。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
このごろよく見かけるワルナスビです。
トゲがあって有毒なのですが、花はきれいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難うございます。
仰る通り、[464]が大分ヒントになっている問題です。
[464]の図を後日見たら、この問題が出来ました。
同じ図でも複数の問題ができるという経験ができたのは収穫でした。
なお、rの上限については、△APQの面積の条件が効いていますが、
そこまでは、意識せずに作問しました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[464]よりは難しいですね。
自然数の条件がなければ、AP=AQ と見当がつきます。

こっこちゃん  
No title

こ(^0^)ん(^_^)ば(^▽^)ん(^_^)わ(^○^)

ワルナスビなんですね

初めてみます。 ナイス

樹☆  
No title

こんばんは^^
お花は可愛いのになんとすごい名前なんでしょう。
確かに繁殖どうにかならないものかと聞いたことが
あります。
やっぱり悪なすびだったんだ!ナイスです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ワルナスビ、こちらでは時々見ます。
見たことがない方が良い環境だと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
アメリカからの帰化植物のようです。
逆に、葛はアメリカで蔓延って、グリーンモンスターと言われているそうです。
国際化はいいものも困るものも入ってきますね。